圆锥曲线大题答题模板-圆锥曲线大题解题技巧

抖音号：高中数学蒋老师头条号：高中数学蒋老师西瓜视频号：高中数学蒋老师高考解析几何大题答题模板圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题.下面整理了几类常考问题答题模板.一、圆锥曲线中的最值和范围问题【典例1】已知抛物线E：y2＝2px(p0)与过点M(a,0)(a0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB．(1)确定p与a的数量关系；(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围．[解](1)设l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y2＝2px，ty＝x－a消去x得y2－2pty－2pa＝0.∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即(y1y2)24p2＋y1y2＝0，∴a2－2pa＝0.∵a0，∴a＝2p.(2)由(1)可得|AB|＝1＋t2|y1－y2|＝2p1＋t2·t2＋4.|AM|·|MB|＝AM→·MB→＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a2－y1y2＝a·y21＋y222p－a2＝4p2(1＋t2)．∵|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，∴a·2p1＋t2t2＋4＝λ·4p2(1＋t2)，1.答题模板（1）确定参数，比如斜率、截距等，设出相关直线方程，再与曲线联立方程组得到关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理，列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用（2）根据已知条件，把问题转化为关于参数的方程或者范围，确定出参数的取值范围（3）针对所求的问题构建关于参数的函数式，再利用函数或者基本不等式等知识求其最值或者范围，有时利用换元法简化运算。2.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解3.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．抖音号：高中数学蒋老师头条号：高中数学蒋老师西瓜视频号：高中数学蒋老师∴λ＝4＋t21＋t2＝1＋31＋t2.∵t2≥0，∴λ∈(1,2]．【典例2】(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A－12，14，B32，94，抛物线上的点P(x，y)－12x32.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．[解](1)设直线AP的斜率为k，k＝x2－14x＋12＝x－12，因为－12x32，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP与BQ的方程，得kx－y＋12k＋14＝0，x＋ky－94k－32＝0，解得点Q的横坐标是xQ＝－k2＋4k＋32(k2＋1).因为|PA|＝1＋k2x＋12＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(xQ－x)＝－(k－1)(k＋1)2k2＋1，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减，因此当k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716.【典例3】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2，由4个点M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1构成一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．[解](1)由条件得b＝3，且2a＋2c2·3＝33，∴a＋c＝3.又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1.∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)显然，直线AB的斜率不能为0.设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抖音号：高中数学蒋老师头条号：高中数学蒋老师西瓜视频号：高中数学蒋老师联立x24＋y23＝1，x＝my－1，消去x得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.∵直线AB过椭圆内的点F1，∴无论m为何值，直线和椭圆总相交，又y1＋y2＝6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，∴S△F2AB＝12|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝12m2＋1(3m2＋4)2＝4m2＋1m2＋1＋132＝41m2＋1＋23＋19(m2＋1).令t＝m2＋1≥1，设f(t)＝t＋19t，易知t∈0，13时，函数f(t)单调递减，t∈13，＋∞时，函数f(x)单调递增，∴当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，f(t)min＝109，S△F2AB取得最大值3.二、圆锥曲线中的证明问题【典例1】已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为23.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.解题思路(1)根据离心率、△ABC面积的最大值及a2＝b2＋c2列方程组求a，b，得椭圆E的方程．(2)求直线DF的斜率，推出直线MN的斜率→点差法求直线OP的斜率(P为线段MN的中点)→由直线kOP＝kOD得O，P，D三点共线，从而证明直线OD平分线段MN.[解](1)由题意得e＝ca＝12，ab＝23，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，证明问题答题模板1.直线方程与圆锥曲线联立，得到关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件，借助韦达定理、点差法、向量、几何关系等把所涉及的量用动点坐标表示出来3.根据条件及证明的方向进行转化运算，直到符合所证结论抖音号：高中数学蒋老师头条号：高中数学蒋老师西瓜视频号：高中数学蒋老师故椭圆E的方程为x24＋y23＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，则直线DF的斜率为kDF＝n－0－4－(－1)＝－n3，当n＝0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝3n＝y1－y2x1－x2.∵点M，N在椭圆E上，∴x214＋y213＝1，x224＋y223＝1，整理得(x1＋x2)(x1－x2)4＋(y1＋y2)(y1－y2)3＝0，又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，∴y0x0＝－n4，直线OP的斜率为kOP＝－n4，∵直线OD的斜率为kOD＝－n4.∴直线OD平分线段MN.【典例2】已知抛物线C：x2＝2py(p0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．解题思路(1)判断△ABD的形状→求|FD|，|AB|→由△ABD的面积为1，列方程→求p，得抛物线的方程．(2)将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，消去y并整理→结合韦达定理用k，p表示M，N的坐标→求kAN：①斜率公式，②导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切．[解](1)∵AB∥l，∴△ABD为等腰三角形，且FD⊥AB，又∵|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋p2，Ax1，x212p，Bx2，x222p.抖音号：高中数学蒋老师头条号：高中数学蒋老师西瓜视频号：高中数学蒋老师由y＝kx＋p2，x2＝2py消去y整理得，x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.∴Mkp，k2p＋p2，Nkp，－p2.∴kAN＝x212p＋p2x1－kp＝x212p＋p2x1－x1＋x22＝x21＋p22px1－x22＝x21－x1x22px1－x22＝x1p.又x2＝2py，∴y′＝xp.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线的斜率k′＝x1p.∴直线AN与抛物线相切．三、圆锥曲线中定点、定值问题【典例1】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[解](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)，由NP→＝2NM→，得x0＝x，y0＝22y，因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以x22＋y22＝1，因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ→＝(－3，t)，定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.抖音号：高中数学蒋老师头条号：高中数学蒋老师西瓜视频号：高中数学蒋老师PF→＝(－1－m，－n)，OQ→·PF→＝3＋3m－tn，OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)，由OP→·PQ→＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【典例2】如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x＝54a上的任意一点，且(PF→＋PE→)·EF→＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．[解](1)设P54a，m，F(c,0)，E(a,0)，则PF→＝c－54a，－m，PE→＝－a4，－m，EF→＝(c－a,0)，所以(2c－3a)(c－a)＝4，又e＝ca＝12，所以a＝2，c＝1，b＝3，从而椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知A1，32，设MN的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设M(x1，y1)，N(x2，