中考数学复习指导：解析以a+b+c=0为条件的求值题

解析以a+b+c=0为条件的求值题在初中数学中经常会遇到一类以a＋b＋c＝0为条件的代数求值题，本文举例加以解析，以期使读者了解此类问题的解题思路．例1已知abc≠0，且a＋b＋c＝0，求111111abcbcacab的值．解析由a＋b＋c＝0得a＋b＝－c．a＋c＝－b，b＋c＝－a．例1可进行如下推广：推广1若a＋b＋c＋d＝0，则推广2若n个数的和为0，即a＋b＋c＋…＋k＝0，则变式1若a＋b－c＝0，求111111abcbcacab的值答案：－3．例2已知abc≠0且a＋b＋c＝0，求222abcbccaab的值．解析由a＋b＋c＝0得a＝－(b＋c)，∴a2＝b2＋c2＋2bc，同理可得b2＝a2＋c2＋2ac，c2＝a2＋b2＋2ab．变式2已知a，b，c是三个互不相等的实数，且三个关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，bx2＋cx＋a＝0，cx2＋ax＋b＝0恰有一个公共实数根，则222abcbccaab的值为____．(答案：3．)例3已知a，b，c均不为零，且a＋b＋c＝0，求222222222111bcacabbac的值．解析由a＋b＋c＝0得a＝－(b＋c)，例4已知a，b，c互不相等，且a＋b＋c＝0，求222111222abcbcacab的值．例5已知a＋b＋c＝0，且a2＋b2＋c2＝1，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋(a＋b)的值．推广：若a＋b＋c＝0且a2＋b2＋c2＝k，则a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝－k．例6已知a＋b＋c＝0且a2＋b2＋c2＝4，求a4＋b4＋c4的值．解由已知得推广：若a＋b＋c＝0且a2＋b2＋c2＝k，则a4＋b4＋c422k最后介绍一个由a＋b＋c＝0推出的常见等式．若a＋b＋c＝0，则a3＋b3＋c3＝3abc．小结由以上几例可知以a＋b＋c＝0为条件的代数式求值题通常都有一个共同点，就是待求式是轮换对称式．因此，把a＋b＋c＝0变形时通常也要进行轮换变形，如a＝－(b＋c)，b＝－(a＋c)，c＝－(a＋b)，或a＋b＝－c，a＋c＝－b，b＋c＝－a等，然后根据待求式的特征(如含平方项(a2，b2，c2)，积项(ab，bc，ca)等)，再进行适当的变形．