(第四个解答题)解析几何

美国的传奇将军麦克阿瑟说过：“只有不怕死的人，才配活着。”把这话套用在高考上就是：“只有不怕失败的人，才配取得最后的成功。”总要有事先的准备才有资格说要比往年的难度低，体现在“运算”量上会有所减少.解答题15分左右.（第四个解答题）解析几何考查点：求曲线(轨迹)方程；有关范围问题(如三角形面积的范围与最值问题).①判别式：△=b2－4ac；韦达定理：x1+x2=－ba，x1x2=ca；解几必记的公式②直线的点斜式方程：y－y0=k(x－x0)；斜截式方程：y=kx+b；③弦长公式(可由两点间的距离公式得)：|AB|=(x1－x2)2－(y1－y2)2=1+k2·(x1+x2)2－4x1x2=1+k2·b2－4ac|a|；解几必记的公式④点到直线的距离公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2；解几必记的公式⑤斜率公式：k=y1－y2x1－x2，或k=tan⑥三角形面积公式：S=12×底×高=12×弦长×点到直线的距离（也可以通过特殊线段（如OF）分割后求面积）；解几必记的公式⑦线段的中点坐标公式：x=x1+x22，y=y1+y22；解几必记的公式三角形的重心坐标公式：x=x1+x2+x33，y=y1+y2+y33⑧抛物线y2=2px的焦半径公式：|PF|=x0+p2;抛物线x2=2py的焦半径公式：|PF|=y0+p2;解几必记的公式也可以用两点间的距离公式推导出此公式，用同样的方法可以推导出椭圆与双曲线的焦半径公式，且根式内一定可以配方，从而去掉根号，但不要漏了绝对值.⑨椭圆、双曲线、抛物线的各种标准方程；解几必记的公式⑩离心率e=ca，离心率范围：椭圆e∈(0,1)；双曲线e∈(1,+∞)；抛物线e=1一般的解题步骤：(即使不会做，也尽可写出一些以下的内容)①设交点坐标(x1,y1)、(x2,y2)②直线与曲线联立方程组③消元得(准)一元二次方程④△≥0→韦达定理x1x2,x1+x2⑤弦长公式⑥与其它式子联立求值或求范围.解几必记的公式1、椭圆的定义2、双曲线的定义3、抛物线的定义知识回顾|MF1|+|MF2|=2a(2a＞|F1F2|＞0)||MF1|－|MF2||=2a(|F1F2|＞2a＞0)|MF|=d(F为焦点，d为动点M到准线l的距离)一、轨迹问题一、轨迹问题1．已知直角坐标系xOy，点Q(2,0).圆C的方程为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比例等于常数（＞0）,求动点M的轨迹.22221(2)xyxy222222(1)(1)4410xyx讨论！54x方法一：直接法一、轨迹问题方法二：定义法一、轨迹问题2．已知动圆过定点(p2,0)，且与直线x=－p2相切，其中p＞0，求动圆圆心的轨迹方程.方法二：定义法3．已知A(3,0)，圆C：(x+3)2+y2=100，P是圆C上的任一点，线段AP的中垂线交CP于点Q，求Q的轨迹方程.yxQACP一、轨迹问题方法二：定义法变式：已知A(6,0)，圆C：(x－6)2+y2=100，P是圆C上的任一点，线段AP的中垂线交直线CP于点Q，求Q的轨迹方程.一、轨迹问题|QA|-|QC|=10一、轨迹问题4．如图，从双曲线x2－y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.一、轨迹问题像上题这样：动点所满足的表达式不易由表达式求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一个动点Q(x1,y1)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹易求得，即可通过Q点来间接求P点的轨迹，这种方法叫相关点法.方法三：相关点法一、轨迹问题5．在直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两个动点A，B满足AO⊥BO，求△ABC的重心G的轨迹方程.一、轨迹问题6．过抛物线y2=4px的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB.求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹.方法五:交轨法一、轨迹问题6．过抛物线y2=4px的顶点作互相垂直的两条弦OA、OB.求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹.方法六:几何法方法六:几何法一、轨迹问题一、轨迹问题（高考模拟仿真一）已知双曲线C：x22－y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P(x1,y1)，Q(x2,－y1)是双曲线的弦的端点.（1）设直线A1P与A2Q相交于点M，求点M的轨迹方程E；（2）已知直线y=kx+m与曲线E相交于A、B两点，若以AB为直线的圆经过点A2(2,0)，求证：直线y=kx+m恒过定点，并求出该点的坐标.二、圆锥曲线的轨迹问题讨论直线y=kx+1与下列曲线的位置关系y2=4xx2+2y2=1222214,(1)4(24)10ykxyxykxxkxkx联立消得即2222121,21410ykxxyykxkx联立消得（）222211,1220ykxxyykxkx联立消得（）x2-y2=1二.如何判定？直线与圆锥曲线的位置关系一.直线与圆锥曲线一般有哪几种位置关系？相交，相切，相离1)数形结合：运用圆锥曲线的平面几何性质等价转化2)代数法：等价转化为直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数问题。位置关系问题代数法a=0a≠00=00相交相切相离至多一个交点（或my2＋ny＋p＝0）ax2+bx+c=0解的问题0(,)0AxByCfxy我们应该在考前这一段时间，多找一些比较陌生的题目，故意和陌生人打交道，这样时间长了，就不怕了，高考出现没见过的题目，你就心里不会慌了。1.(2007浙江)如图，直线y=kx+b与椭圆x24+y2=1交于A,B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（II）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．圆锥曲线的综合问题解：（I）由y=bx24+y2=1得：x2=4(1－b2)，∴x=±21－b2，∴S=12×41－b2×b，∴当b=22时，Smax=1.圆锥曲线的综合问题（II）由y=kx+bx24+y2=1得：(k2+14)x2+2kbx+b2－1=0，△=4k2－b2+1＞0，∴x1+x2=－2kbk2+14，x1·x2=b2－1k2+14∴|AB|=1+k2(x1+x2)2－4x1x2=1+k24k2－b2+1(k2+14)2=2（*）,圆锥曲线的综合问题∵O到直线AB的距离为d=|b|k2+1∴S=12×|AB|×d=12×2×|b|k2+1=1，∴b2=k2+1代入（*）式得：k4－k2+14=0，∴k2=12，b2=32.满足△＞0,∴AB：y=±22x+62，或y=±22x－62圆锥曲线的综合问题通过做题，你可以发现一个问题，锻炼一种思维，概括一类题型，甚至可以悟出一个道理。2.（2010浙江）已知m＞1，直线l：x－my－m22=0，椭圆C：x2m2+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.圆锥曲线的综合问题解：（Ⅰ）∵F2(m2－1,0)，直线l过点F2，∴m2－1－m22=0，∴m2=2，∵m＞1，∴m=2，∴l：x－2y－1=0圆锥曲线的综合问题（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则G(x13,y13),H(x23,y23).∵O在以GH为直径的圆内，∴∠GOH＞90°,∴OG→·OH→＜0,∴x13·x23+y13·y23＜0,由x－my－m22=0x2m2+y2=1得：2y2+my+14m2－1=0.△=m2－4×2×(14m2－1)=8－m2＞0圆锥曲线的综合问题∴y1+y2=－m2,y1y2=18m2－12,∴x1x2=(my1+12m2)(my2+12m2)=m2y1y2+12m3(y1+y2)+14m4∴(1+m2)y1y2+12m3(y1+y2)+14m4,∴m4－3m2－4＜0,∴m2＜4.满足△＞0∵m＞1，∴1＜m＜2.圆锥曲线的综合问题3．（2011年样卷21）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．圆锥曲线的综合问题一个学生在做作业中，有一些知识点反复出问题，或者有几次小考总在某一方面丢分，这就是无声的警告。4．（2012年样卷21）如图，椭圆C:x2＋3y2＝3b2(b＞0).(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且|AB|＝3，求△AOB面积的最大值.圆锥曲线的综合问题5．（2009浙江）已知椭圆C1：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．（I）求椭圆C1的方程；（II）设点P在抛物线C2：y=x2+h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M,N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．圆锥曲线的综合问题解：（I）∵椭圆焦点在y轴上，右顶点A(1,0)，∴b=1，圆锥曲线的综合问题∵过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1，∴椭圆过点（±12，c），∴c2a2+12=1，∴a2=4，∴椭圆C1的方程为：x24+y2=1.（II）设P(x0,y0)，则y0=x02+h，圆锥曲线的综合问题由y=x2+h得：y′=2x，∴MN：y－y0=2x0(x－x0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由y－y0=2x0(x－x0)y24+x2=1得：4(x02+1)x2+4x0(h－x02)x+(h－x02)2－4=0△=16x02(h－x02)2－16(x02+1)[(h－x02)2－4]=16[4(x02+1)－(h－x02)2]∴x1+x2=x0(x02－h)x02+1又线段PA的中点与线段MN的中点的横坐标相等，∴x1+x22=x0+12，即x0(x02－h)x02+1＝x0+1，∴x02+(h+1)x0+1=0圆锥曲线的综合问题∴h=－(x0+1x0+1)，∴当x0＜0时，h≥1，当x0＞0时，h≤－3，此时不满足△＞0.当h=1时，x0=－1，此时△＞0.故h的最小值为1.6．已知点D(0,－2)，过点D作抛物线C1：x2=2py(p＞0)的切线l，切点A在第二象限，如图．（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为32的椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k,k1,k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．圆锥曲线的综合问题解：（Ⅰ）由x2=2py得：y=12px2，∴y′=1px，圆锥曲线的综合问题设A(x0,y0)(x0＜0,y0=12px02)，则l：y－y0=1px0(x－x0)∵l过点D(0,－2)，∴－2－12px02=1px0(0－x0)∴x02=4p，∵x0＜0,∴x0=－2p∴y0=2.即切点A的纵坐标为2.（Ⅱ）∵椭圆x2a2+y2b2=1离心率为32，∴a2=4b2，圆锥曲线的综合问题由点D(0,－2)，可设切线l：y=kx－2由y＝kx－2x24b2+y2b2=1得：(4k2+1)x2－16kx+16－4b2=0.△=(16k)2－4(4k2+1)(16－4b2)＞0，∵A(－2p,2)，设B(x1,y1)，由韦达定理知：－2p+x1=16k4k2+1，已知一点，用韦达定理求另一点很方便∵切线斜率k=－2p，圆锥曲线的综合问题∴x1=16k4k2+1+2p＝2pp16+p，∴y1=kx1－2=－4p16+p－2=－32+6p16+p∴k1＝y0x0=－1p，k2=y1x1=－32+6p2pp∵k1+2k2=4k，∴－1p－2×32+6p2pp＝－4×2p,解得：p=32，∴A(－82,2)，∴1284b2+4b2=1，∴b2=36，a2=1