第二章.塞瓦定理和应用

范文范例学习指导word整理版第二章塞瓦定理及应用【基础知识】塞瓦定理设A，B，C分别是△ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若AA，BB，CC三线平行或共点，则1BACBACACBACB．①证明如图2-1（b）、（c），若AA，BB，CC交于一点P，则过A作BC的平行线，分别交BB，CC的延长线于D，E，得,CBBCACEABAADCBBC．A′B'C'ABCPPCBAA′B'C'DECBAA′B'C'DE(c)(b)(a)图2-1又由BAAPACADPAEA，有BAADACEA．从而1BACBACADBCEAACBACBEAADBC．若AA，BB，CC三线平行，可类似证明（略）．注（1）对于图2-1（b）、（c）也有如下面积证法：由：1PABPBCPCAPCAPABPBCSSSBACBACACBACBSSS△△△△△△，即证．（2）点P常称为塞瓦点．（3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证．首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理．如图2-1（b）、（c），分别对△ABA及截线CPC，对△AAC及截线BPB应用梅涅劳斯定理有1BCAPACCAPACB，1ABCBAPBCBAPA．上述两式相乘，得1BACBACACBACB．其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理．如图2-2，设A，B，C分别为△ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，且A，B，C三点共线．令直线BB与CC交于点X，直线CC与AA交于点Y，直线AA与BB交于点Z．范文范例学习指导word整理版CBAA′B'C'XYZXYZCBAA′B'C'图2-2分别视点C，A，B，C，A，B为塞瓦点，应用塞瓦定理，即对△BCB及点C（直线BA，CX，BA的交点），有1BACABXACABXB．对△CAC及点A（直线CB，AY，CB的交点），有1CBABCYBCBCYC．对△ABA及点B（直线AC，BZ，AC的交点），有1ACBCAZCBCAZA．对△BBC及点C（直线BA，BA，CX的交点），有1BXBACAXBACAB．对△CCA及点A（直线CB，CB，AY的交点），有1CYCBABYCBABC．对△AAB及点B（直线AC，AC，BZ的交点），有1AZACBCZACBCA．上述六式相乘，有21BACBACACBACB．故1BACBACACBACB．塞瓦定理的逆定理设A，B，C分别是△ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若1BACBACACBACB，②则AA，BB，CC三直线共点或三直线互相平行．证明若AA与BB交于点P，设CP与AB的交点为1C，则由塞瓦定理，有111ACBACBACBACB，又已知有111ACBACBACBACB，由此得11ACACCBCB，即1ACACABAB，亦即1ACAC，故1C与C重合，从而AA，BB，CC三线共点．若AABB∥，则CBCBBABA．代入已知条件，有ACACCBCB，由此知CCAA∥，故AABBCC∥∥．上述两定理可合写为：设A，B，C分别是△ABC的BC，CA，AB所在直线上的点，则三直线AA，BB，CC平行或共点的充要条件是1BACBACACBACB．③范文范例学习指导word整理版第一角元形式的塞瓦定理设A，B，C分别是△ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则三直线AA，BB，CC平行或共点的充要条件是sinsinsin1sinsinsinBAAACCCBBAACCCBBBA∠∠∠∠∠∠．④证明由sinsinABAAACSBAABBAAACSACAAC△△∠∠，sinsinCBBCCBBBAABBBA∠∠，sinsinACACACCCBBCCCB∠∠，三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立．第二角元形的塞瓦定理设A，B，C分别△ABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，O是不在△ABC的三边所在直线上的点，则AA，BB，CC平行或共点的充要条件是sinsinsin1sinsinsinBOAAOCCOBAOCCOBBOA∠∠∠∠∠∠．⑤证明注意到塞瓦定理及其逆定理，有1BOACOBAOCAOCBOACOBSSSBACBACACBACBSSS△△△△△△sinsinsinsinsinsinBOBOACOCOBAOAOCCOAOCAOBOABOCOB∠∠∠∠∠∠．由此即证得结论．注在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式的右端仍为1．特别要注意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上．④、⑤式中的角也可按①式的对应线段记忆．推论设1A，1B，1C，分别是△ABC的外接圆三段弧BC，CA，AB上的点，则1AA，1BB，1CC共点的充要条件是1111111BACBACACBACB．证明如图2-3，设△ABC的外接圆半径为R，1AA交BC于A，1BB交CA于B，1CC交AB于C．由A，1C，B，1A，C，1B六点共圆及正弦定理，有11112sinsin2sinsinBARBAABAAACRAACAAC∠∠∠∠．A1B1C1CBAA′B'C'图2-3同理，11sinsinCBCBBBABBA∠∠，11sinsinACACCCBCCB∠∠．三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证．为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图2-4中的点A、B、C、D、E、F，将其作为塞瓦点，我们写出如下式子：范文范例学习指导word整理版HGFEDCBA图2-4对△ACE及点D有1ABCGEFBCGEFA，对△CDE及点A有1CFDBEGFDBEGC，对△ADE及点C有1DGAFEBGAFEBD，对△ABD及点F有1ACBEDHCBEDHA，对△ACD及点E有1AGDFCBGDFCBA，对△ADF及点B有1AHDCFEHDCFEA，对△ABF及点D有1BCAEFHCAEFHB，对△BDF及点A有1BEDCFHEDCFHB．【典型例题与基本方法】1．恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键例1四边形两组对边延长分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行．证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段．（1978年全国高中竞赛题）证明如图2-5，四边形ABCD的两组对边延长分别交于E，F，对角线BDEF∥，AC的延长线交EF于G．GFEDCBA图2-5范文范例学习指导word整理版对△AEF及点C，应用塞瓦定理，有1EGFDABGFDABE．由BDEF∥，有ABADBEDF，代入上式，得1EGGF，即EGGF．命题获证．例2如图2-6，锐角△ABC中，AD是BC边上的高，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC，AB于E，F．求证：EDHFDH∠∠．（1994年加拿大奥林匹克试题）OPHFEDCBA图2-6证法1对△ABC及点H，应用塞瓦定理，有1AFBDCEFBDCEA．①过A作PQBC∥，延长DF，DE分别交PQ于P，Q，则DAPQ⊥，且△APF∽△BDF，△AQE∽△CDE，从而AFPABDFB，EAAQDCCE．而由①，有AFEABDDCFBCE，故PAAQ．由此知AD为等腰△APQ底边PQ上的高，故EDHFDH∠∠．证法2对△ABC及点H应用塞瓦定理，有1DAFDCEDFBDEASSAFBDCEBDFBDCEASDCS△△△△sinsintancotsinsinADADFBDDCEDCADFADEBDFDBDCADADE∠∠∠∠∠∠．即tantanADEADF∠∠，由锐角性质知EDAFDA∠∠．类似地，对△ABE及截线FHC或对△AFC及截线BHE应用梅涅劳斯定理也可证得有EDAFDA∠∠．注将此例中的平角BDC∠变为钝角，则有如下：例3如图2-7，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD∠．在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：GACEAC∠∠．（1999年全国高中联赛题）范文范例学习指导word整理版JIHGFEDCBA图2-7证明连BD交AC于H，对△BCD及点F，应用塞瓦定理，有1CGBHDEGBHDEC．AH平分BAD∠，由角平分线性质，可得BHABHDAD，故1CGABDEGBADEC．过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J，则,CGCIDEADGBABECCJ．所以1CIABADABADCJ．从而，CICJ．又CIAB∥，CJAD∥，有180180ACIBACDACACJ--∠∠∠∠．因此，△ACIACJ≌△，即有IACJAC∠∠．故GACEAC∠∠．注由此例还可变出一些题目，参见练习题第4、5及19题．例4如图2-8，BE是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于D，F，过D作DNCG∥交BG于N，△DGL及FGM△为正三角形．求证：△LMN为正三角形．MLNGFEDCBA图2-8证明连NF，对△ABC及点G应用塞瓦定理，有1AFBDCEFBDCEA．而AECE，则AFDCFBBD．由DNCG∥，由CDNGBDBN．范文范例学习指导word整理版于是，有AFNGFBBN，从而FNAD∥，即知四边形DNFG为平行四边形，有GDNGFN∠∠．又60GDLGFM∠∠，则LDNNFM∠∠．而DNGFFM，DLDGNF，知△LDN≌△NFM，有LNMN，DNLNMF∠∠．于是MNLDNFDNLMNFDNFNMFMNF--∠∠（∠∠）∠（∠∠）180)(180)NFGNFMNFMNFG----=(∠∠∠∠60MFG∠．故△LMN为正三角形．例5如图2-9，在一个△ABC中，2CB∠∠，P为△ABC内满足APAC及PBPC的一点．求证：AP是A∠的三等分线．（1994年香港代表队IMO选拔赛题）2B-θθθB-θπ-2(2B-θ)B-2θCBAP图2-9证明用B表示ABC∠的度量，令PCB∠，则PBC∠，ABPB-∠，2ACPB-∠，π22CAPB--∠（其中注意APAC），π[π2(2)]PABACAPBCB------∠∠∠(π3)(π42)2BBB----．对△ABC及点P，应用第一角元形式的塞瓦定理，有sin[π2(2)]sinsin()1sin(2)sin(2)sinBBBB-----．亦即2sin(2)cos(2)sin()1sin(2)sin(2)BBBBB-----．于是sin(2)2sin()cos(2)sin(32)sinBBBBB-----，即sinsin(32)sin(2)2cos(22)sinBBBBB----．而sin0B，则1cos2()2B-．因1π0()33BbBC-，则2π2()0,3B-．π2()3B-，即π6B-．从而π2(2)π4()2CAPBB--