2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练及答案

12020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一求曲线的方程例1已知1(2,0)F，2(2,0)F，点P满足12||||2PFPF，记点P的轨迹为E．求轨迹E的方程．【答案】1322yx【解析】由1212||||24||PFPFFF可知：点P的轨迹E是以12,FF为焦点的双曲线的右支，由2,22ca，∴222213b，故轨迹E的方程为）（01322xyx.【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点P满足）（212122FFaaPFPF，则点P的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“12||||2PFPF”只能表示点P的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。题型二定值、定点问题例2已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【答案】(1)x24＋y2＝1，e＝32(2)2.2【解析】(1)由题意得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.又c＝a2－b2＝3，所以离心率e＝ca＝32.(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y20＝4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y＝y0x0－2(x－2).令x＝0，得yM＝－2y0x0－2，从而|BM|＝1－yM＝1＋2y0x0－2.直线PB的方程为y＝y0－1x0x＋1.令y＝0，得xN＝－x0y0－1，从而|AN|＝2－xN＝2＋x0y0－1.所以四边形ABNM的面积S＝12|AN|·|BM|＝122＋x0y0－11＋2y0x0－2＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋42x0y0－x0－2y0＋2＝2x0y0－2x0－4y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝2.从而四边形ABNM的面积为定值.【易错点】(1)．想不到设出P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线PA，PB的方程．不会由直线PA，PB的方程求解|BM|，|AN|；(2)．不知道四边形的面积可用S＝12|AN|·|BM|表示；(3)．四边形ABNM的面积用x0，y0表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值．【思维点拨】第(1)问由a＝2，b＝1，c＝3，解第一问；3第(2)问画草图可知AN⊥BM，四边形ABNM的面积为12|AN|·|BM|，设点P(x0，y0)，得出PA，PB的方程，进而得出M，N的坐标，得出|AN|，|BM|，只需证明12|AN|·|BM|是一个与点P的坐标无关的量即可．例3已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3231，，P423,1，中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．【答案】(1)x24＋y2＝1(2)(2，－1)【解析】(1)因为P3231，，P423,1，，所以P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由1a2＋1b21a2＋34b2知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.因此1b2＝1，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，4由题设知t≠0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为242tt，，242tt，.则k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝12121221kxxmxxxx.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0.解得k＝－m＋12.当且仅当m－1时，Δ0，于是l：y＝－m＋12x＋m，5即y＋1＝－m＋12(x－2)，所以l过定点(2，－1).【易错点】(1)观察不出P3，P4对称，忽视对称性导致判断失误;(2)不会用点的坐标代入方程判断P1，P2是否在椭圆上而滞做;(3)联立直线l与椭圆C的方程，计算化简失误而滞做;(4)利用k1＋k2＝－1运算变形不明确变形目标，导致化简不出k，m的关系．【思维点拨】第(1)问利用椭圆的性质，易排除点P1(1,1)不在椭圆上，从而求椭圆方程；第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设l：y＝kx＋m，利用条件建立k，m的等量关系，消参后再表示出直线l的方程可证明．题型三最值（范围）问题例4已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a＞0)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是－14，0，求线段AB长的取值范围．【答案】(1)x22＋y2＝1(2)322，22【解析】(1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以b＝c＝1，a＝2，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1．6(2)根据题意，直线A，B的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，与x22＋y2＝1联立，消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1·x2＝2k2－21＋2k2，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2＋2)＝2k1＋2k2，即M－2k21＋2k2，k1＋2k2.则直线AB的垂直平分线为y－k1＋2k2＝－1kx＋2k21＋2k2，令y＝0，得xP＝－k21＋2k2，因为xP∈－14，0，即－14＜－k21＋2k2＜0，所以0＜k2＜12，22121214ABkxxxx＝222222422142121kkkkk＝2212221kk＝21＋11＋2k2.∵12＜12k2＋1＜1，∴|AB|∈322，22．【易错点】运算错误，由于运算方法、运算技巧以及自身运算能力差，都是出错原因。【思维点拨】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法：（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．7（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．题型四存在性问题例5.如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率是22，点P(0，1)在短轴CD上，且PC·PD＝－1.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得OA·OB＋λPA·PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x24＋y22＝1(2)－3，理由见解析【解析】(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．又点P的坐标为(0,1)，且PC·PD＝－1，于是1－b2＝－1，ca＝22，a2－b2＝c2.解得a＝2，b＝2.所以椭圆E的方程为x24＋y22＝1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立x24＋y22＝1，y＝kx＋1得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)0，8所以x1＋x2＝－4k2k2＋1，x1x2＝－22k2＋1.从而，OA·OB＋λPA·PB＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝22242121kk＝－λ－12k2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k2＋1－λ－2＝－3.此时，OA·OB＋λPA·PB＝－3为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，OA·OB＋λPA·PB＝OC·OD＋λPC·PD＝－2－λ.当λ＝1时，OA·OB＋PA·PB＝－3，为定值．综上，存在常数λ＝1，使得OA·OB＋λPA·PB为定值－3.【思维点拨】解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在。例6已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F2(2,0)，点P1，－153在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|＝|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)x26＋y22＝1(2)不存在满足条件的直线l【解析】(1)法一：∵椭圆C的右焦点为F2(2,0)，∴c＝2，椭圆C的左焦点为F1(－2,0)．9由椭圆的定义可得2a＝22221515121233＝969＋249＝26，解得a＝6，∴b2＝a2－c2＝6－4＝2.∴椭圆C的标准方程为x26＋y22＝1.法二：∵椭圆C的右焦点为F2(2,0)，∴c＝2，故a2－b2＝4，又点P1，－153在椭圆C上，则1a2＋159b2＝1，故1b2＋4＋159b2＝1，化简得3b4＋4b2－20＝0，得b2＝2，a2＝6.∴椭圆C的标准方程为x26＋y22＝1.(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y＝－x＋t，由x26＋y22＝1，y＝－x＋t得x2＋3(－x＋t)2－6＝0，即4x2－6tx＋(3t2－6)＝0，Δ＝(－6t)2－4×4×(3t2－6)＝96－12t20，解得－22t22.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3t2，x1x2＝3t2－64，由于|F1M|＝|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，故kF1E＝－1kMN＝1，10又F1(－2,0)，Ex1＋x22，y1＋y22，即E3t4，t4，∴kF1E＝t43t4＋2＝1，解得t＝－4.当t＝－4时，不满足－22t22，∴不存在满足条件的直线l.【思维点拨】解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解【巩固训练】题型一求曲线的方程1.已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为()A.x212＋y211＝1B.x236－y235＝1C.x23－y22＝1D.x23＋y22＝1【答案】D【解析】由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为x23＋y22＝1，故选D.2.已知点A(0，