分式及分式方程总复习纲要

人教版八年级数学（下册）第十六章：分式复习纲要224团中学马胜伟1BA第十六章分式1.分式的定义：如果A和B均为整式．．，B．中含有字母．．．．．，那么式子叫做分式。例如：x5，3522xx，32mmn，6523,32xxxbas等都是分式。因为这些式子的分母中都含有字母．．．．．．．．，所以他们都是分式。注意：分式的分子和分母都是整式．．．．．．．．．，但是分子可以含字母．也可以不含字母，而分母中必须含有字母．．．．．．．．．．．下列式子25x,5,32,401222yxxx中，它们的分母中都不含有字母，所以都不是分式，而是整式．特别要注意25x，它的分母上是，但它表示的是常数3.1415926…，所以25x不是分式。整式和分式统称为有理式．2.分式有意义的条件是:分母不为零;注意：分式是否有意义，与分子无关．只要分母不等于零，分式就有意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例如1：对分式32522xxx，要使这个分式有意义，就必须满足x2＋2x－3≠0，即(x－1)(x＋3)≠0，∴x≠1且x≠－3,当x≠1且x≠－3时,分式32522xxx才有意义．3.分式值为零的条件分子为零且分母不为零.要使分式的值为零，必须在分式有意义的前提下．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，才能谈到它的值是多少．这就是说“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为零．．．．．．．．．．．．．．．．，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”．例如2：当x为何值时，分式62||2xxx的值为零；解|x|－2＝0,……①x2＋x－6≠0,……②解：由①式得x＝±2，又由②式得(x－2)(x＋3)≠0,即x≠2且x≠－3.∴x＝－2.4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。理解分式的基本性质时，必须注意：(1)分式的基本性质中的A、B、C表示的都是整式．例如3：2222yxyyyyxyx，)(33)(3))((322babcacbabacbabacba．随着知识的扩充,A、B、C还可以表示任何代数式．(2)在分式的基本性质中，C≠0．例如4：xxyxyxxxyxy6432)32(2)32(22，这里C＝2x－3,因此,C≠0，即2x－3≠0，所以x≠23.这个条件往往被忽略，学习时，必须特别注意．(3)分子、分母必须“同时”乘以C(C≠0)，不要只乘分子（或分母）．CBCABACBCABA（0C）(1)由题意得人教版八年级数学（下册）第十六章：分式复习纲要224团中学马胜伟25、通分是解决异分母分式加减的基础，约分是解决分式乘除的基础，要解决好分式的运算问题，就必须掌握好分式的通分与约分问题，这类问题共分两类，下面举例说明，供同学们参考．一、以单项式为分母(1)．约分例1．约分：3262abab解：原式=222332abaaabbb．分析：本题是分子、分母均为单项式的分式的约分问题，只要将单项式分离，然后再约去相同的因式即可．(2)．通分例2．通分：21,42baac分析：本题两个分式的分母都是单项式的形式，而通分的关键是确定分母的最简公分母，首先要找分母中各系数的最小公倍数，字母要找次数最高的幂，如系数4，2，最小公倍数为4，最高次幂是2,ac，所以最简公分母是24ac，这样问题就基本解决了．解：因为最简公分母是24ac，所以22211444ccaacac，2222224bbaabacacaac．二、以多项式为分母(1)．约分例3．约分：2222aabaabb解：原式=2()()aabaabab．分析：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先因式分解，再约去公因式．因此要注意分式约分时一定要根据分式的基本性质能分解因式的要分解，再约分，分子、分母要从整体上把握．(2)．通分例4．通分：221,939aaa分析：本题的各分母是多项式，应先分解因式，再确定最简公分母，9-3a=3（3-a），29(3)(3)aaa，因此最简公分母为3(3)(3)aa．解：因为最简公分母为3(3)(3)aa，所以，222(3)2(3)933(3)3(3)(3)3(3)93)aaaaaaaa211(1)33(1)9(3)(3)(3)(3)33(3)(3)aaaaaaaaaaa．6、分式的通分和约分：关键先是对分子或分母的多项式进行分解因式分解因式方法：(1)、提公因式法：m(a+b)=ma+mb反过来为ma+mb=m(a+b)(2)、公式法：平方差公式:(a+b)(a-b)=反过来为:=(a+b)(a-b)完全平方公式：反过来为：(3)、十字相乘法：提醒：分式的约分、通分、化简和解分式方程都要用到.分式的基本性质22ba22ba2222bababa2222bababaq)p)(x(xpqq)x(p2x人教版八年级数学（下册）第十六章：分式复习纲要224团中学马胜伟3nnnbaba)(nnaa155818nnaa17、(1)分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。(2)分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。8、分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减9、分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。10、混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。分式的混合运算过程较繁，关键是要严格按照分式混合运算的顺序进行，即分式的加、减、乘、除、乘方11、混合运算，先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，若有括号，先算括号内的.注意：如果分式的分子或分母中含有多项式，能分解因式要先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.12、任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即)0(10aa；当n为正整数时，（)0a例如：（1）；（2）反过来注意：负指数的幂：这里的n是正整数且13、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：nmnmaaa；（2）幂的乘方：mnnmaa)(;（3）积的乘方：nnnbaab)(；（4）同底数的幂的除法：nmnmaaa(a≠0)；=（5）商的乘方：，(b≠0)。14、科学记数法：把一个数表示成na10的形式（其中101a，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．（1）用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是1n.例如：6100000000=6.1×1000000000=6.1×109-9644235442816=-9.644235442816×1012（2）用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)例如：0.000000087=8.7×10-8-0.000000428156=-4.28156×10-715.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。解分式方程的过程：实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程最常用的方法：(1)去分母法；(2)比例法（两外项之积等于两内项之积）；(3)通分法解分式方程（去分母法）的步骤：(1)化简：对分子，分母上的多项式能化简的先化简（即能分解因式先分解因式）；(2)去分母：方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程：移项，合并同类项，化未知数的系数为1；bcadcdbadcbabdacdcba;nnnbaba)(114.3055881.0a人教版八年级数学（下册）第十六章：分式复习纲要224团中学马胜伟4431212xxx)2)(2(3121xxxx22xx13252xxxx13125xxxx1xxxx325(4)验根：分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例如：解下列分式方程(1)（2）解：原分式方程可变形为：解：原分式方程可变形为：给方程的两边同时乘以得：给方程的两边同时乘以得：解得：1x解得：1x检验：把1x代入:22xx=-3≠0检验：把1x代入:1xx=0所以1x是原分式方程的解所以1x不是原分式方程的解16、增根产生的原因：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。17、增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。分式方程应用题例如：(1)、若关于x的方程2155mxx有增根，则m的值等于（）A．－3B．－2C．－1D．3(2)、若关于x的方程2233xmxx无解，则m的值为________.17.解分式方程的一般步骤18.列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法．(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效．(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．32221xxxx检验最简公分母不为０去分母最简公分母为０分式方程ａ是分式方程的解整式方程x=a目标ａ不是分式方程的解解整式方程