机械制图直线与平面平面与平面的相对位置

第五章直线与平面、平面与平面的相对位置（编制李小平）本章目录§5-1平行问题§5-2相交问题§5-3垂直问题§5-4综合问题解题示例§5-1平行问题一、直线和平面平行二、平面和平面平行本章介绍它们的投影特性和作图方法。直线与平面、平面与平面的相对位置可能是平行、相交或垂直。一、直线和平面平行定理如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。QABCD有关直线与平面平行的作图问题：1.作直线∥已知平面。2.作平面∥已知直线。3.判断已知直线、平面是否平行。2’2例1含点I(1,1’)作平面与直线AB(ab,a’b’)平行。1’3’13a’abb’X作法(1)过点Ⅰ作直线ⅠⅢ与AB平行(2)含直线ⅠⅢ作一任意平面。图5-1例2判断直线AB与△ⅠⅡⅢ是否平行。图5-2a’b’3’2’1’ab312x作法(1)在平面任一投影中，作面内直线CF∥AB的同面投影。(2)求CF的另一投影，并判断直线CF是否∥AB。d’f’c’fdc特殊情况若直线与某一投影面的垂直面平行，则它们在该投影面上的投影一定平行。X直线投影∥平面有积聚性的同面投影,它们在空间必互相平行特殊情况若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行。X直线与平面对某一投影面同时有积聚性,它们在空间必互相平行。PH二、平面和平面平行定理如果一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。PQABCDC1D1A1B1有关两平面平行的作图问题：1.作平面∥已知平面。2.判断两已知平面是否平行。例含点A1作平面平行定平面(A2B2×A2C2)。c2Xa1’a2’b2’b2a1a2c2’b1’b1c1’c1图5-3c2Xa2’b2’b2a2c2’b1b1’a1’c1’a1c1例判断两平面是否平行。分析：若两面相互平行，则它们有一对相互平行的相交直线。讨论相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有积聚性的同面投影必平行。xa’cabc’b’1231’2’3’d’d图5-4若两正垂面相互平行，则它们的正面投影相互平行。若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行。Xx1231’2’3’分析：若两面相互平行，则它们的有积聚性的同面投影相互平行。PV例含点A1作平面平行平面△ⅠⅡⅢ。aa’§5-2相交问题一、特殊线、面与一般直线或平面的相交二、一般直线与一般平面的相交三、两一般位置平面的交线相交问题直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面的共有点；两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线。一、特殊位置线、面与一般位置直线或平面的相交交点、交线为线与面、面与面两者所共有，如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置，则可利用其投影的积聚性直接求出交点或交线的一个投影，另外的投影可根据其在线上（或在面内）特点按投影关系求出。如果平面为投影面平行面或投影面垂直面，则可利用平面投影的积聚性直接定出交点的一个投影。1.特殊位置平面与一般位置直线相交例求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。K求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性。（1）求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性（不重叠的部分都是可见的）。（2）交点是直线可见部分与不可见部分的分界点。（3）判别方法A.直接观察;B.利用交叉直线的重影点。关于直线可见性的判别k1’(2’)xc’e’d’a’b’cabed例求直线AB与铅垂面△CDE的交点K。分析利用铅垂面水平投影的积聚性求交点图5-512k’例求AB与P平面的交点。分析利用PV的积聚性求交点。k’abPHPVa’b’xpx图5-6k1’xc’e’d’a’（b’）cabed例求正垂线AB与△CDE的交点K。分析利用线V面投影的积聚性确定交点的一个投影，根据点在面上求出交点的另一投影。12k’2’k特殊位置直线与一般位置平面相交两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线，是平面可见部分与不可见部分的分界线。两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线的方法是：求出交线上的两个点，在两个平面的公共范围处连出交线。两平面相交2.特殊位置平面与一般位置平面的交线当相交两平面之一为特殊位置平面时，可利用它的投影的积聚性直接求出交线上的两个点，然后连成交线。de’a’abb’Xed’f’fcc’kl例求△DEF(⊥H面)与△ABC的交线KL。分析利用dfe的积聚性，求两平面交线。k’1’(2’)12（1）求出交线后，对于两平面同面投影重叠的部分，要判别可见性（不重叠的部分都是可见的）。（2）交线是可见部分与不可见部分的分界线。（3）判别方法—A.直接观察;B.利用交叉直线的重影点。图5-7l’(a)全交(b)互交两平面相交的两种情况全交：一个平面全部穿过另一个平面;互交：两个平面的边线互相穿过。分析利用水平面e’f’g’的积聚性求两平面交线。e’c’g’f’1’efg1d’b’a’k’l’labcdkx例求△EFG(∥H面)与平面ABCD的交线，并判断可见性。图5-8本题中两平面图形只有部分互交。求交时要注意除去交线多余的部分。当两平面同时垂直某一投影面时，它们的交线也是此投影面的垂直线。xe’g’f’efgc’b’a’abc例求两面的交线。各种位置平面间的交线例3求矩形平面与两个共边三角形平面的交线。分析利用水平面投影的积聚性求两平面交线。水平面与两三角形的交线是水平线，并且与相应的底边平行。xc’s’1’a’b’cabs12图5-102’当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是：1.含已知直线作辅助平面;2.求辅助平面与已知平面的交线;3.交线与已知直线的交点即为所求。为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面。二、一般位置直线与一般位置平面的相交PkPV例1求直线DE与平面△ABC的交点。aa’gg’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’图5-12aa’bb’c’ckXdd’e’ek’1(2)3’(4’)432’1’例1求直线DE与平面△ABC的交点。利用两交叉直线的重影点判别直线的可见性。图5-12解法一空间分析：含点与一直线作平面，求与另一直线的交点。a’f’2’3’g’4’1’x2a34k1PVfgk’b’b例2含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。图5-13ABKⅢⅣⅡⅠB解法二空间分析：含点和两直线分别作面，求两面交线与一直线的交点。解法三空间分析：将一直线变成投影面垂直线，利用积聚性，作直线AB与二交叉直线垂直相交AKⅢⅣⅡⅠ例2含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。图5-14例3求AB与两三角形的交点。作法作正垂面Q求AB与两三角形的交点。a’b’f1’xa3’4’1’2’f2’k2’k1’e1’e2’f1f2k1e1k2e2b3124(m)nQVn’m’图5-15三、两一般位置平面的交线常用方法：1线面交点法2.辅助平面法1.线面交点法当相交两平面都用平面图形表示，且同面投影有互相重叠的部分时，可用求直线和平面交点的方法找出交线上的两个点。QV例求△ABC和△DEF的交线。（求交点）aa’gf’fbb’c’ckXdd’e’ehg’h’k’RVll’aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’图5-16aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’ll’1’2’1(2)3’(4’)3’4’例求△ABC和△DEF的交线。（判别可见性）图5-16f’kaa’fbb’c’cXdd’e’ell’k’若线段的投影与另一平面图形的投影不重叠，就表明该线段在空间不直接与平面图形相交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选这类直线来求交点。使用线面交点法时注意：2.辅助平面法图5-17作图原理1.求P、Q平面的交线时，任作平面S1，使与Q相交得交线L1，与P相交得交线L2；2.L1、L2的交点I为P、Q、S1三面的共有点，即P、Q交线上的一个点。3.再作平面S2，又可得到交线上的另一个交点Ⅱ。4.连接IⅡ即P、Q的交线。b’例求△ABC和平面(L1∥L2)的交线。c’a’xabc1’12’3’23S1VS2Vl2’l1’l2l1k1k1’图5-18k2’k2§5-3垂直问题一、直线和平面垂直二、两平面垂直一、直线和平面垂直定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。∵直线L⊥平面P内的两相交直线AB、CD,则L⊥P面LBACDP直线与平面垂直的投影特性：直线的水平投影⊥平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影⊥平面内的正平线的正面投影。c’CKAkeMBEFfabcHe’cbaa’b’f’fedd’k’km’mX∵m’k’⊥e’f’,mk⊥ad,∴MK⊥△ABC所确定的平面。有关直线与平面垂直的作图问题：1.作直线⊥已知平面；作平面⊥已知直线。2.判断已知直线、平面是否垂直。QH例1含点E作直线垂直于△ABC，并求垂足。aa’bb’c’e’k’cke12’21’3’4’43f’fX图5-21分析先求平面的垂线，然后求垂线与平面的交点。(b)已知例求C点到直线AB的距离。（分析）aa’bb’c’cX(a)分析示意图PBAKC解题步骤:1.过C点作P面⊥直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。aa’bb’c’dce’1’122’kc’k’k0CK实长例求C点到直线AB的距离。（作图）Xed’k’解题步骤:1.过C点作P面⊥直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。例2已知AB⊥BC，求bc。aa’bb’c’c1’122’343’4’XABCP分析1.过B点作P面⊥直线AB则BC一定在P面内；2.在P面内求C点。图5-22二、两平面垂直定理如一直线⊥一平面，则包含这直线的一切平面都⊥该平面。反之，如两平面互相垂直，则从第一平面内的任意一点向第二平面所作的垂线，必定在第一平面内。简述如一平面内有一直线垂直于另一平面，则此两平面互相垂直。两平面垂直的条件有关两平面垂直的作图问题：1.作平面⊥已知平面；2.判断两已知平面是否垂直。例含点A作平面垂直于△ⅠⅡⅢ。1’2’3’1235’4’54c’a’b’xabc分析含点A只能作一直线⊥定平面，但此垂线可作无穷多个平面，即本题有无穷多解。图5-24§5-4综合问题解题示例1.含定点或直线作平面及在定平面内取点、线。2.求直线与平面的交点。3.求两平面的交线。4.含定点作直线平行于定平面。5.含定点作直线垂直于定平面。6.含定点作平面垂直于定直线。必须熟练掌握以下六个基本问题的作图方法：例1:作直线AB使与L平行，并与两交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ相交。空间解题分析一：含一直线作面平行直线L，求面与另一直线的交点，过交点作线平行直线L。1’3’123l’4’l42’x55’b’bQVⅠⅡⅣⅤLBAa’a空间解题分析二：含两直线分别作面平行直线L，求两面的交线，即为所求。空间解题分析三：用换面法将一直线变换成投影面垂直线，过其积聚性投影作线平行直线L并与另一直线相交，即为所求。ⅠⅡⅣLⅢ例2已知点A到△ⅠⅡⅢ的距离为15，求a。1’3’1234’42’x56’615mm求垂线实长16a’abB0ⅥⅠk’f’kf5’解题步骤：⑴作直线⊥平面；⑵求垂线上距面为15的点；⑶过点作面∥平行原面；⑷A点在平行面内，在面内作线求A点水平投影。bb’