高中物理八大解题方法之六：守恒法

-1-高中物理解题方法之守恒法江苏省特级教师戴儒京一、动量守恒动量守恒定律：内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。公式：'pp或'2'121pppp或2211vmvm='22'11vmvm(《物理》第一册第124页)例1.如图所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A（视为质点）位于B的右端，A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C，B与C发生正碰，碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行，A与C有摩擦力。已知A滑到C的右端而未掉下。试问：从B、C发生正碰到A刚移到C右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍？解：设A、B、C的质量均为m,碰撞前，A与B的共同速度为v0，碰撞后，B与C的共同速度为v1。以B、C为一系统，B、C碰撞时间很短，B、C之间的作用力（内力）远大于它们与A的作用力（外力），该系统动量守恒，由动量守恒定律，得：102mvmv（1）设A滑至C右端时，A、B、C三者的共同速度为v2。对A、B、C三个物体组成的系统，用动量守恒定律，有：2032mvmv（2）设A与C的动摩擦力因数为，从发生碰撞到A滑至C的右端时，C所走过的距离为s，对B、C，用动能定理，有22)2(21vmmgs-21)2(21vm（3）-2-设C的长度为L，对A，用动能定理，有2021)(mvLsmg-2221mv（4）由以上各式解得：37Ls。例2.甲、乙两运动员在做花样滑冰表演，沿同一直线相向运动，速度大小都是1m/s，甲、乙相遇时用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，速度大小分别为1m/s和2m/s．求甲、乙两运动员的质量之比．【答案】（3）由动量守恒11222211mvmvmvmv解得122211mvvmvv代入数据得1232mm例3.牛顿的《自然哲学的数学原理》中记载,A、B两个玻璃球相碰,碰撞后的分离速度和它们碰撞前的接近速度之比总是约为15：16.分离速度是指碰撞后B对A的速度,接近速度是指碰撞前A对B的速度.若上述过程是质量为2m的玻璃球A以速度v0碰撞质量为m的静止玻璃球B,且为对心碰撞,求碰撞后A、B的速度大小.【解析】设A、B球碰撞后速度分别为1v和2v由动量守恒定律21022mvmvmv，由题意知1615012vvv解得014817vv，022431vv例4.如题12C-2图所示，进行太空行走的宇航员A和B的质量分别为80kg和100kg，他们携手远离空间站，相对空间站的速度为0.1m/s。A将B向空间站方向轻推后，A的速度变为0.2m/s，求此时B的速度大小和方向。-3-【答案】根据动量守恒，设远离空间站方向为正，BBAABAvmvmvmm）（，解得smvB/02.0，方向为设远离空间站方向。【点评】本题考查动量守恒定律，难度：容易。二、电荷数守恒和质量数守恒原子核的衰变方程如：HeThU422349023892在衰变过程中，衰变前的质量数等于衰变后的质量数之和；衰变前的电荷数等于衰变后的电荷数之和。大量观察表明，原子核衰变时电荷数和质量数都守恒。（《物理》第三册第65页）例．用大写字母表示原子核，表示衰变，一系列衰变记为：，另一系列衰变记为：。已知P是F的同位素。则（）A．Q是G的同位素，R是H的同位素B．R是E的同位素，S是F的同位素C．R是G的同位素，S是H的同位素D．Q是E的同位素，R是F的同位素解：根据原子核衰变时电荷数和质量数都守恒，设E的核电荷数为z，质量数为m,即为Emz，则经（He42）衰变后，核电荷数为2z，质量数为4m，则F为Fmz42，经（e01）衰变后，核电荷数1，质量数不变，则G为Gmz4；同样方法可算出，H为Hmz2。已知P是F的同位素，所以P可以记为Pxz2，x设为P的质量数，则经衰-4-变后，Q为Qxz，再经衰变后，R为Rxz1，经衰变后，S为Sxz42。由于R与E的核电荷数相同，所以R是E的同位素。同样，S是F的同位素。答案为B。三、能的转化与守恒守恒思想在高中物理学中是贯穿前后的重要思想，包括能量守恒定律、动量守恒定律、电荷守恒定律等；守恒思想在高中物理的中各部分的体现与表达是不同的。能量守恒定律：内容:能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,,它只能从一种形式转化为别的形式,或者从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中其总量不变.这就是能量守恒定律.能量守恒定律在不同的条件下有不同的体现,在高中物理学习的不同阶段有不同的表达.力做功，功变能，能守恒。合力做功=动能的改变（动能定理）重力做功=重力势能的改变。重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增大。弹力做功=弹性势能的变化。弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增大。电场力做功=电势能的变化。电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增大。安培力做功=电能的变化。安培力做正功，电能转化为其他形式的能，安培力做负功（克服安培力做功），其他形式的能转化为电能。摩擦力做功=热能的变化。克服摩擦力做功，其他形式的能转化为热能。1．机械能守恒定律(能量守恒定律在力学中的表达)内容：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。这个结论叫做机械能守恒定律公式：2221mv+2mgh=2121mv+1mgh或者2kE+2PE=1kE+1PE（全日制普通高级中学教科书（必修）《物理》第一册第147-5-页148页）在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，动能与弹性势能之和保持不变，即机械能守恒（《物理》第148页）公式：2221mv+2221kx=2121mv+2121kx（笔者补充）弹簧振子和单摆是在弹力或重力的作用下发生振动的,如果不考虑摩擦和空气阻力,只有弹力或重力做功,那么振动系统的机械能守恒.例1.柴油打桩机的重锤由汽缸、活塞等若干部件组成，汽缸与活塞间有柴油与空气的混合物。在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动。现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：柴油打桩机重锤的质量为m，锤在桩帽以上高度为h处从静止开始沿竖直轨道自由下落（如图1），打在钢筋混凝土桩子上，钢筋混凝土桩子（包括桩帽）的质量为M。同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短。随后，桩在泥土中向下移动一段距离L。已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩帽之间的距离也为h（如图2）。已知：kgm3100.1，kgM3100.2，mh0.2，mL20.0。重力加速度2/10smg。混合物的质量不计。设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力，求此力的大小。解：锤自由下落，只有重力做功，机械能守恒，设锤碰桩前速度为1v，由2121mvmgh，得ghv21（1）碰后，锤上升高度为（h-L）,设锤刚碰桩后速度为2v，根据机械能守恒定律，有-6-2221)(mvLhmg，得)(22Lhgv（2）设碰后桩的速度为v，方向向下，根据碰撞前后动量守恒，设向下为正方向，有：)(21vmMvmv，得Mvvmv)(21（3）桩下降的过程中，根据动能定理，有2210MvFLMgL（4）由（1）、（2）、（3）、（4）式解得：])(22[LhhLhMmLmgMgF代入数据得：F=2.1105N。2．热力学第一定律(能量守恒定律在热学中的表达)内容:如果物体跟外界同时发生做功和热传递的过程,那么,外界对物体所做的功W加上物体从外界吸收的热量Q等于物体内能的增加U.公式:U=Q+W上式所表示的功、热量跟内能改变之间的定量关系,在物理学中叫做热力学第一定律.符号法则:U:物体的内能的增加为正,减少为负，不变为0；热量Q:物体从外界吸收的热量为正,向外界放出的热量为负；功W:外界对物体所做的功为正,物体对外界所做的功为负。例2．一定质量为的理想气体，从某一状态开始，经过一系列变化后又回到开始状态，用W1表示外界对气体做的功，W2表示气体对外界做的功；Q1表示气体吸收的热量，Q2表示气体放出的热量，则在整个过程中一定有（）A．1221WWQQB．21QQC．21WWD．21QQ解：根据热力学第一定律，U=Q+W，（1）式中U=0，又据符号法则，21QQQ，（2）-7-21，（3）将（2）、（3）代入（1）式，得答案：A。3．机械能与电势能之和守恒(能量守恒定律在电场中的表达)电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程,电场力做了多少功,就有多少电势能和其他形式的能发生相互转化.(《物理》第二册第104页)如果只有电场力做功,电势能和动能相互转化,动能与电势能之和守恒;公式:2221mv+2qU=2121mv+1qU如果只有电场力和重力做功,电势能和机械能相互转化,机械能与电势能之和守恒.公式:2221mv+2mgh+2qU=2121mv+1mgh+1qU例3．如图3所示，将一质量为m、电荷量为+q的小球固定在绝缘杆的一端，杆的另一端可绕通过O点的固定轴转动。杆长为L，杆的质量忽略不计。杆和小球置于场强为E的匀强电场中，电场的方向如图所示，将杆拉至水平位置OA，在此处将小球自由释放。求杆运动到竖直位置OB时小球的速度。AOEB图3解：杆和球运动过程中只有重力和电场力做功，机械能与电势能之和守恒，有2221mv+2mgh+2qU=2121mv+1mgh+1qU(1)其中1表示位置A，2表示位置B。则有Lhh21，ELUU21，01v，将以上三式代入（1）式，得：qELgLv222。4．电磁感应中的能量转化与守恒(能量守恒定律在电磁感应中的表达)能量守恒定律是一个普遍适用的定律,同样适用于电磁感应现象.在发电机中,外力做功,消耗机械能,产生的电能是从机械能转化而来的;发电机就是应用这个原理制成的.在变压器中,电能是由初级线圈转移给次级线圈的,变压器就是应用这个原理制成的.在这中-8-转化和转移中能量保持不变.(《物理》第二册第168页)楞次定律和法拉第电磁感应定律就是能量守恒定律在电磁感应中的体现。楞次定律：物理学家楞次（1804-1856）概括了各种实验结果，在1834年得到如下结论：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。这就是楞次定律。(《物理》第二册第200页，黑体是原文所有，下同)法拉第电磁感应定律：法拉第不怕困难，顽强奋战了10年，终于取得了突破，在1831年发现了电磁感应现象。(《物理》第二册第195页)内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。这就是法拉第电磁感应定律。公式：tnE或sinBLvE导线切割磁感线时产生的感应电动势的大小，跟磁感应强度B、导线长度L、运动速度v以及运动方向和磁感线方向的夹角的正弦sin成正比。(《物理》第二册第198页)对于理想变压器,它们的输入功率等于输出功率,即公式：2211UIUI.例4．图4中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m，电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直。质量m为6.0×10-3kg、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1。当杆ab达到稳定状态时以速率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2。解:在杆ab达到稳定状态以前,杆加速下降,重力势能转化为动能和电能.当杆ab达到稳定状态(即匀速运动)时,导体棒克服安培力做功,重力势能转化为电能,即电路消耗的电功,所以有Pmgv代入数据得:smv/5.4.图4感应电动势为BLvER1R2labMNPQBv-9-感生电流为rREI外其中r为ab的电阻,R外为