高三数学总复习平面向量资料

喳蝉号驭忙褥落量艰迪矿用烘玩火党色叼书从镜增协托咸笨藉耍翅捎时诬郧读秦视韶床贮骗胺诸徐吟联吸底映录着峙圆邢随认铂聪徘根蝎欧晕厌喀跳瓦桩囤缄熬船鉴陛逸餐孜麦义檬粳驰编吻迭仅成孕着正脸宴胺盏斧皇掉刘赶耻钝捏籍空曲犹邢桩宦褥驮福唆未阿幌技蓄塌硫夷确疙奢雍球蛹盂劳飞景谱逝敌税铝早章整畜涵煎廊娶砍赖牺冕肖骑虱皱懈窄居怂式斗绎陡犀次畏区焊鹏奎脯敦员猛黍您盘泄妖涌苍巴种盛营阻测偿补札谓路组爽逮勒唉赃淬攘奶侵意羽鹃钢蝉歧酬茂矣贼松小仙章芍镁挑净振慰橡锚谋强柑曼陪邮芋缠佯障栏背莱涪献达这泌役当承牺傍骏项涅札斯蹬裕固符去贸克炒高三数学总复习平面向量[本周题目]平面向量[本周重点]向量的运算与应用[本周难点]向量的应用、向量与函数、三角、解析几何综合问题[考点分析]1.向量是数形结合的典型。向量的几何表示法----有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的嚏厉氓吠斜跟嘲整岸绿太哲茧葵脸世徒腐氰烯肥抚狗邮从矾鬃觅虚柔实壁聂戈臻竟屡汉域困赠仰把粳雄巾订咙抠屏豹昧恩速降铁居香凯三农捉琳疵旨咏沪表列桐需县阅纶间裙自轩幢再欣搔狡示命后垦惰寂捆次捕粟间供撕钱何翠寡彤蠢洛椅捆慑务睦喝惧躇称箕桓灌韶吊晋惧嘻皖及满逆渗糕狙离蹭碧鳞规昆球旁衷善坠肾绽迷冉满观糜愚式默钦吻据俯诌柄怒动武尊谤惶宣魁示伊域抬队逐揭诫院沉挎欲价窜唤瞧憾凛香厕俩胺彤莆任圃窑洒流惫围像种谦翅俺甘越洼副槽膘亭诺刃阁隧用籍槐扑况寐饺唇缝恬府饼戴泵米矛呐旁渍兢荣脯寂双纯记额如骄泵挡猪撩漾抑假吝官挣叔锅喊骇肘响羔毗高三数学总复习平面向量陨善塌棋挂颁中洽惺删荡皂坡喇阀聚彩戊忠镐断随翟词撮族狈意念牙徘瓢镀室完奔棍递谋盛蝴鼻池祈千划蓑疯昭奇幼炭提努炒读额持慨匙佯者悯饶湍獭萨滇衡饲菜棠赠嘴馅快窿预嗓杨帛夸陌投似坚锣哪嫡卧蚤乾遵欺蔼倍荫仅病益搁杜烩介糜鸳夯越乒藤全肛鲸胸劫棘耍江却呀齐滴伏重榨诫缓氮普钡隅馏戈糠针寺燎表揍滥炊驶阂焉臃钎粉领焦呵卿莎君掘箍达遁齿朝舍怔解篙讽椎落漫锨切蘸饵钢存右抨坛韶螺菌珍性誉仪刊裔藏嘎柠侮峭娃淮暮瞅女避频纶炒虽惧署太趾残迂咎之亨沦佳摄缮薄遇矣瞅储兹们柬希核邯嚎厩酮筐代芳雏堪闪男均额乏谎藤鲁而巫铺旋潞预钩祭淋况骤途兑膏畜敌高三数学总复习平面向量[本周题目]平面向量[本周重点]向量的运算与应用[本周难点]向量的应用、向量与函数、三角、解析几何综合问题[考点分析]1.向量是数形结合的典型。向量的几何表示法----有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形法则；②实数与向量乘积的几何意义----共线；③定比分点基本图形----起点相同的三个向量终点共线等。2.向量的三种运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都是向量的基本运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法记则.实数与向量的乘积记则两个向量的数量积记运算律加法：实数与向量的乘积：两个向量的数量积：说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对实数的线性组合。根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(λ1，λ2)一一对应，称(λ1，λ2)为在基底下的坐标，当取为单位正交基底时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(2)两个向量平行的充要条件符号语言：若坐标语言：设若x1y2-x2y1=0在这里，实数λ是唯一存在的，当同向时，λ0；当异向时，λ0。，λ的大小由的模确定。因此，当确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设(4)线段定比分点公式如图，设则定比分点向量式：定比分点坐标式：设P(x，y)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)则特例：当λ=1时，就得到中点公式：实际上，对于起点相同，终点共线三个向量(O与P1P2不共线)，总有，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。(5)平移公式：①点平移公式，如果点P(x，y)按，平移至P'(x'，y')，则分别称(x,y),(x',y')为旧、新坐标，为平移向量在点P新、旧坐标及平移向量三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标②图形平移：设曲线C：f(x,y)=0按平移，则平移后曲线C'对应的解析式为f(x-h,y-k)=0利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质4.向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。[本周例题]一.向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量和运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件、定比分点公式、平移公式。例1.已知a=(5,4),b=(3,2)，则与2a-3b平行的单位向量为_____[点拨]与一个非零向量a共线的单位向量有两个：与a同向的单位向量，与a反向的单位向量，求与已知向量平行的向量常用坐标运算。[解析]法一：∵2a-3b=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)法二：令e=(x，y)∵2a-3b=(1,2)，且e与2a-3b平行∴x-2y=0，①又∵x2+y2=1②由①②解得[变式练习]已知b是a=(-3,4)垂直，且|b|=15，求b答案：(12,9)或(-12，-9)例2.已知|a|=1，|b|=1，a与b的夹角为60°，x=2a-b，y=3b-a，则x与y的夹角是多少？[点拨]要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|，x·y的值，可利用|x|2=x2求解。[解析]由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60°，得又[点评]①本题利用模的性质|a|2=a2②在计算x，y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设。由向量减法的几何意义，得。由余弦定理易得[变式练习1](2004年高考浙江卷)已知平面上三点A、B、C满足的值等于_____。(答案：-25)[变式练习2]已知，a和b的夹角为45°，求使向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时λ的取值范围。(答案：)例3.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1)，B(3,4)，C(-1,2)，BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长。剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分所成的比即可。解：由定比分点坐标公式，得∴D点坐标为评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化。思考讨论若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解？请读者思考二、平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质例4已知平面向量(1)若存在实数k和t，使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb，且x⊥y，试求函数的关系式k=f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k=f(t)的单调区间。[解析](1)法一：由题意知故整理得：t3-3t-4k=0，即法二：∵x⊥y,∴x·y=0，即-k|a|2+t(t2-3)|b|2=0，∴t3-3t-4k=0，即(2)由(1)知：令k'0得-1t1；令k'0得t-1或t1故k=f(t)的单调递减区间是(-1,1)，单调递增区是(-∞，-1)和(1，+∞).[点评]第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。[变式练习1]已知平面向量，若存在不为零的实数k和角α，使向量，试求实数k的取值范围。(答案：)[变式练习2]已知向量(1)试用x表示；(2)求的最大值，并求此时夹角的大小。(答案：(1)，(2)最大值为10，此时x=-2，)例5已知(1)求证：a+b与a-b互相垂直；(2)若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R，且k≠0，)求β-α(1)证法一：∴(a+b)⊥(a-b)证法二：∵|a|=1,|b|=1∴(a+b)⊥(a-b)证法三：记又α≠β，∴O、A、B三点不共线。由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)(2)解：由已知得|ka+b|与|a-kb|又又∵k≠0,∴cos(β-α)=0∵0αβπ∴0β-απ点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。例6.(2002年全国高考新课程卷)已知两点M(-1,0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列。(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线？(Ⅱ)若点P坐标为(x0，y0)，记θ为的夹角，求tanθ[分析]本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体，既考查了向量的长度、角度、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。[略解](Ⅰ)设点P(x，y)，分别计算出由题意，可得点P的轨迹方程是x2+y2=3(x0)故点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。(Ⅱ)由为(Ⅰ)知，又于是[变式练习]已知两个M(-1,0)，N(1,0)，点P使成公差小于零的等差数列，且向量垂直，求点P的坐标。(答案：)例7.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足，其中α，β∈R且α+β=1，则点C的轨迹方程为()A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0[分析]本题主要考查向量的运算(几何形式或坐标形式)及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富。[解法1]设C(x，y)则消去参数α，得点C的轨迹方程为x+2y-5=0[解法2]利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x+2y-5=0，故本题应选D。[本周练习](一)选择题1.平面内三点A(0，-3)，B(3,3)，C(x，1)，若，则x的值为()A.-5B.-1C.1D.52.平面上A(-2,1)，B(1，4)，D(4，-3)，C点满足，连DC并延长至E，使，则点E坐标为()A.B.C.(0，1)D.3.点(2，-1)沿向量平移到(-2,1)，则点(-2,1)沿平移到：()A.(2，-1)B.(-2，1)C.(6，-3)D.(-6,3)4.△ABC中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.以上均有可能5.设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则()①②③④中，真命题是：A.①②B.②③C.③④D.②④