上海2020高三数学一模分类汇编-立体几何(详答版)

12020年一模汇编——立体几何一、填空题【崇明3】半径为1的球的表面积是_______．【答案】4【解析】24RS1R4S【奉贤3】圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于___________.【答案】5【解析】先求得圆锥的母线长为5，再结合侧面积公式求得侧面积为5【杨浦5】已知圆锥曲线的底面半径为1cm，侧面积为22cm，则母线与底面所成角的大小为__________.【答案】3【解析】2clS(c为底面圆周长，l为母线长)，因为2c所以2l，所以母线与底面所成角的大小为3【长宁，嘉定，金山5】若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为_______.【答案】2【解析】底面圆面积为，底面半径为1，底面周长为2，且侧面面积为122lR2222R【黄浦6】母线长为3，底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为________.【答案】2π3【解析】由底面半径为1可知圆锥展开图中的弧长为2，展开图中半径为3，由Lr得23【静安6】设ABC是等腰直角三角形，斜边2AB,现将ABC（及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.2【答案】23【解析】22112(2)333r【青浦6】已知正四棱柱底面边长为22，体积为32，则此四棱柱的表面积为_______.【答案】16322【解析】由题意得正四棱柱的高4)22(322h，所以表面积232162244)22(22表S【浦东7】如果圆锥的底面圆半径长为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为____________．【答案】2【解析】依题意知母线长为2，底面半径1r，则由圆锥的侧面积公式得2Srl【闵行9】如图，在三棱锥DAEF中，1A、1B、1C分别是DA、DE、DF的中点，B、C分别是AE、AF的中点，设三棱柱111ABCABC的体积为1V，三棱锥DAEF的体积为2V，则12:VV________.【答案】38【解析】12121113,,:4238VShVShVV底底【虹口9】已知m、n是平面外的两条不同直线，给出三个论断：①mn；②n∥；③m；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________.【答案】若②③，则①；【解析】由于m、n是平面外的两条不同直线，若mn,//，则nm，故得到论断若②③，则①【宝山10】有一个空心钢球，质量为g142，测得外直径为cm5，则它的内直径是______cm.【答案】5.43【解析】由题意得，142]34)25(34[9.733x5.42x【青浦11】如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数2()1xfxx，0x的图像上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________.【答案】4【解析】101,)1()(2xxxxDxfxf则101,12xxxxC4-1111112222xxxxxxxxxxxxV圆柱令)0(1txxt442442ttttttV圆柱当且仅当12,2xt时等号成立二、选择题【松江13】已知l是平面的一条斜线，直线m，则（）【A】存在唯一的一条直线m，使得lm【B】存在无限多条直线m，使得lm【C】存在唯一的一条直线m，使得//lm【D】存在无限多条直线m，使得//lm【答案】B【解析】首先可以找到一个m与l垂直，那么与m平行的直线且在内的直线都与l垂直【青浦14】对于两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，以下结论正确的是（）【A】若m，n∥，m、n是异面直线，则、相交【B】若m，m，n∥，则n∥【C】若m，n∥，m、n共面于，则m∥n【D】若m，n，、不平行，则m、n为异面直线【答案】C【解析】A选项面、也可以平行；B选项n也可以属于平面；D选项,mn也可以是4共面的.【徐汇14】一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）【A】.1:2【B】.1:8【C】.2:2【D】.2:4【答案】C【解析】设截后锥的高度为h，原锥高为H，由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平行面所截，且截面面积与底面面积的比为1:212=22hH，所以答案选C【长宁，嘉定，金山15】已知正方体1111DCBAABCD,点P是棱1CC的中点，设直线AB为a，直线11DA为b.对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与ba、都相交；②过点P有且只有一条直线l与ba、所成的角都为45.以下判断正确的是()【A】①为真命题，②为真命题；【B】①为真命题，②为假命题；【C】①为假命题，②为真命题；【D】①为假命题，②为假命题；【答案】B【解析】异面直线夹角问题，ba、夹角为90，则过点P与所有角为45的有两条.【普陀15】已知两个不同平面,和三条不重合的直线,,abc则下列命题中正确的（）【A】若a∥，b则ab∥【B】若,ab在平面内，且,cacb⊥⊥，则c⊥【C】若,,abc是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与,,abc都相交【D】若,分别经过两异面直线,ab，且c，则c必a与b相交【答案】D【解析】本题考察的是立体几何，需要学生具有一定的空间思维【宝山15】已知平面,,两两垂直，直线,,abc满足,,abc,则直线,,abc不5可能满足的是（）【A】两两垂直【B】两两平行【C】两两相交【D】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型【闵行15】在正四面体ABCD中，点P为△BCD所在平面上的动点，若AP与AB所成角为定值，(0,)4，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】B【解析】由题，顶点A在底面BCD的射影O是底面三角形BCD的中心，则以OB为x轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系。设3AB,则0,0,2A,1,0,0B,,,0PxyAP与AB所成角为定值，(0,)4222cos23APABxAPABxy，则222223cos13cos46cos40xyx222223cos+13cos46cos402xyx故为椭圆。【虹口16】正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）【A】13【B】12【C】23【D】34【答案】B【解析】正四面体ABCD旋转过后，我们只需要观察一角，上面的一角，点O为其中心，我们可以推出点O把正四面体的高分为了31的关系，因此上面露出的体积为18，由于正四面体为中心对称图形，因此没有重叠的体积148，因此公共部分的体积为126三、解答题【普陀17】如图所示三棱锥PABC的三条棱,,PAABAC两两互相垂直，22ABACPA，点D在棱AC上，且ADAC0＞.（1）当1=2时，求异面直线PD与BC所成角的大小；（2）当三棱锥DPBC的体积为29时，求的值.【答案】（1）3（2）2=3【解析】（1）本题需用空间向量解决立体几何，如图建立空间直角坐标系Axyz，则0,0,10,1,02,0,0,0,2,0PDBC，，，所以0,1,1PD，2,2,0BC，所以21cos,==2222PDBCPDBCPDBC故而异面直线PD与BC所成角为3（2）因为PA，AB，AC两两互相垂直，所以AB平面PAC,则1233CPABABCVAPS△，又2=9DPBCV，所以=3DPBCAPBCVV，那么3ACDC，故而2=3【闵行17】如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且4AB，ABCD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心.7（1）求圆柱的侧面积；（2）求异面直线OF和PC所成的角的大小.【答案】（1）23（2）3arccos4【解析】（1）由题意可知：圆柱的底面半径为圆锥的一半1=2=1=32rh圆柱圆柱，=213=23S圆柱（2）设PD与圆柱的交点为E,连接OE,可知异面直线OF和PC所成的角的大小为EOF或其补角。2,2OFOEEF4423cos2224EOF异面直线OF和PC所成的角的大小为3arccos4。【静安17】如图，在正六棱锥PABCDEF中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为60.（1）求该六棱锥的体积V；（2）求证：PACE【答案】（1）12；（2）见解析.【解析】（1）解：设底面中心为O，联结,POAO．（1分）PO底面ABCDEF，PAO为侧棱与底面所成的角60．……（2分）ABCDEF是正六边形，2ABAO．∴在AOPRt中，3260tanAOOP．（1分）136226322ABCDEFS，…（1分）BEAFDCP8163123PABCDEFVOP．………（1分）（2）证明：PO底面ABCDE，POCE．AOCE，又POAOO，CE面PAO．………………………（5分）又PA在平面PAO上，PACE．………………………………（1分）【浦东17】如图，四棱锥ABCDS的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,aADSD，点E是线段SD上任意一点．（1）求证：BEAC；（2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30．【解析】解法一：（1）证明：联结BD，因为四边形ABCD为正方形，所以，BDAC，又因为SD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以SDAC．由DSDBDSDACBDACAC平面SBD．又因为BE平面SED，所以BEAC．（2）设tED，因为SD⊥平面ABCD，所以BE与平面ABCD所成角为EBD．在EDBRt中，由tantanEBD30at2at36．所以，当aED36时，BE与平面ABCD所成角的大小为30．解法二：（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系．SDBACE9000,,D，00,,aA，0,a,aB，00,a,C．设tDE,则)t,,(E00则0,a,aAC，t,a,aBE因为0022aaBEAC，所以BEAC（2）取平面ABCD的一个法向量为100,,n因为t,a,aBE，可知直线BE的一个方向向量为t,a,ad．设BE与平面ABCD所成角为，由题意知30．d与n所成的角为，则222taatndndcos，因为21cossin，所以，21222taat，解得，at36．当aED36时，BE与平面ABCD所成角的大小为30．【宝山17】在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，060BAD,13DD,E是AB的中点.（1）求四棱锥1CEBCD的体积;（2）求异面直线1CE和AD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).【答案】（1）332V;(2)5arccos8【解析】（1）3331333323322322BCDESV；（2）取CD中点为M，连接1MC，1CEM即为所求【崇明17】在直三棱柱111ABCABC中，90ABC