大学物理的数学基础知识补充

2015-09-151大学物理孟凡研数理学院物理系理化楼[e-mail]2参考书：答疑:地点：理化楼235时间：星期三（11：45~13：15）星期五（11：45~13：15）教材：《大学物理习题集》李列明《大学物理辅导》吕金钟张三慧主编《大学物理学》（第三版）作业：《课本》，统一用作业纸，星期二收发作业公共信箱[e-mail]密码physicsustb大学物理课程说明《大学物理习题集》，助教网提交F.Y.Meng3大学物理期末成绩确定考勤(5分)期中考试(10分)期末考试(70分)大学物理课程考评体系平时成绩(30分)作业(15分)第三学期：物理竞赛注册助教网使用说明查看公共邮箱中的“助教网使用及手册”！1.登陆助教网：；4.第一步，输入班级；7.每周助教网作业提交的截止日期：周日23点，否则视为缺交一次作业2.注册新用户（一定要记住用户名及密码!）；3.注册成功,点击“申请成为学生”；6.当前的状态为“正在申请”，等待教师确定后，即可进入“学生角色”，并“完成作业”；5.第二步，填写申请表，并完成申请；可点击“查看班级详细信息”，以确保无误；“孟凡研15上-1”(测控151-2，智能151-2，测控U15，智能U15)，“孟凡研15上-2”（计151-4）5F.Y.Meng6数学补充§1微积分初步一、变量、常量和函数二、导数(微分)三、不定积分§2定积分一、定积分二、定积分的主要性质三、牛顿—莱布尼茨公式§3常微分方程§4矢量矢量加减法、乘法、导数2015-09-152F.Y.Meng71.变量：在某个现象或过程中本身取值会发生变化的量一、变量、常量和函数2.常量：在某个现象或过程中本身取值保持一定的量3.函数：x,y为两个相互联系的变量，若在x的定义域内的任意一个x值都有一个y值与之对应，则称y是x的函数自变量x的变化范围——函数f(x)的定义域所有y的取值——函数y的值域§1微积分初步()yfx⑸反三角函数y=arcsinx,arccosx等4.基本初等函数5.复合函数用基本初等函数复合而成的函数x=u2⑴幂函数y=xn(n为任意实数)⑵三角函数y=sinx,cosx,tanx等⑶指数函数y=ex,ax⑷对数函数y=logax,lnxu=cosαα=ωt8F.Y.Meng二、导数1.微分xxxyyyxyO1）自变量x的增量:x2）函数增量:()()yfxxfx3）平均变化率:()()yfxxfxxxy和x之间满足什么关系?9()yfxyF.Y.Meng线性函数抛物线函数正旋函数e指数举例：()yfxyAxBsinyx2yAx?yAx?y()()fxxfx22()AxxAx(Δ)()fxxfx2ey10F.Y.Meng4）自变量微分x0时自变量增量x,改记成dx5）函数微分0y时相应的函数增量y,记成dy※dy与dx的关系微分——忽略高阶无穷小11d(d)()yfxxfxF.Y.MengyAxBsinyx2yAxexyddyxAd(2d)dyAxxx2dAxxdsin(cosd1)cossindyxxxxcosdxxdde(e1)xxyedxxddyxAlnyx1ddyxx3d(56)?x2=(15)dxx数学上可以证明,对无穷小量dx,有符号“d”的含义微小的增量例如：dx、dm、dV微小量例如：dm、dV12dAxBxAxcosd1xsinddxxtanddxx※dy与dx的关系F.Y.Meng2015-09-1532微商（导数）对y=f(x)，若x无限趋近某一数值x0，f(x)则无限趋近某一确定数值a，则a就是函数f(x)在x趋近x0时的极限，记作：在有函数值的情况下,极限就是函数值;1）极限130lim()xxfxa232()1xxfxx2lim()?xfx1lim()?xfx(1)0/0f在无函数值的情况下,极限就显得格外重要了。(2)8fF.Y.MengF.Y.Meng142）导数OxyyxPQxyⅰ.y对x的平均变化率称作函数y=f(x)对自变量x的导数，ⅱ.y对x的导数x0时,yx的极限定义为：等于f(x)曲线在x处切线的斜率'()fxⅲ.导数的几何意义()()yyxxyxxxtan0'()limyxxfxddyxⅳ.y对x的二阶导数0()()()limxfxxfxfxxdd()ddyxx导函数f'(x)对x的导数叫做y对x的二阶导数，记作例函数导数的几个实例22ddyxyyAxB2yAxsinyxcosyx15F.Y.Meng3）复合函数的微商链式法则:uyxu()yfxxyuxyuddxyyxdduuuy()yyu()uux16F.Y.Mengxu4）导数的基本运算法则1122yAyAy12yyy12yyy1122yAyAy1212yyyyy121222yyyyyy17F.Y.Meng5）基本求导公式：(1)()0C(2)1()nnxnx(3)(sin)cosxx(4)(cos)sinxx(5)2(tan)secxx(6)2(cot)cscxx(7)(sec)sectanxxx(8)(csc)csccotxxx(9)()lnxxaaa(10)()xxee(11)1(log)lnaxxa(12)1(ln)xx(13)21(arcsin)1xx(14)21(arccos)1xx(13)21(arctan)1xx(13)21(arccot)1xx18F.Y.Meng2015-09-154极大值或极小值?则由该点的二阶导数来确定1）导数与极值xyPOyxQ0xM3微商（导数）的应用()0yx对应极值点或拐点ddyyxddyyxy随x增加而增加()0yxy随x增加而减小()0yx19F.Y.Meng极大值点极小值点OxyyPx0xQMN拐点0)(0)(00xyxy00()0()0yxyx00()0()0yxyx20F.Y.Meng⑴定理⑵定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达(L’Hospital)法则。232()1xxfxx例：21132lim()lim1xxxxfxx21(32)lim(1)xxxx161lim1xx5例：求01limxxex0(1)limxxex0lim1xxe12）洛必达法则(),()(,)fxFxUa设在内可导且满足：)lim()lim()0;xaxaafxFx)()0;bFx())lim().()xafxcFx或()()limlim.()()xaxafxfxFxFx那么21F.Y.Meng三、不定积分若F'(x)=f(x),则[F(x)+c]'=?函数f(x)的所有原函数，就叫f(x)的不定积分，记为：1、原函数2、不定积分f(x)——被积函数x——积分变量∫——积分符号C——积分常数()d()fxxFxCF(x)+c就叫做f(x)的原函数,有无穷多个；f(x),22F.Y.Meng3.不定积分的性质(先导后积等于自身加上任意常数)(先积后导等于自身)例题2dxxcosdxx(1)()dfxx(2)()dfxxd()fx（其实，不定积分就是导数的反运算）()fx()fxc33xCsinxCF.Y.Meng23d()dfxxdx4.不定积分的运算法则1）函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即[()()]d()d()dfxgxxfxxgxx()d()dkfxxkfxxk是常数，0kF.Y.Meng242015-09-1554.不定积分的运算法则3）若()d()dfxxguu且()d[]guuFuC()[()]fxdxFuxC则2(1ln)dxxx21(1ln)dxxx2(1ln)d(ln)xx1)1lnux2duu33uc3(1ln)3xcF.Y.Meng25§2定积分一、定积分1曲边梯形的面积曲边梯形是指在直角坐标里由y=f(x)曲线与x=a,x=b和x轴三条直线所围成的图形。思想：整体→分割→小矩形→求和得整体近似值。当分割无限细密时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。xOyxabx+Δx()fxF.Y.Meng26Oyxab把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间第i个小曲边梯形的面积记为1[,]iixx1(1,2,3,,)iixxxin小区间的长度记为()iiAfx1()iiixx把n个小矩形总面积()()iiAfxfx1()niifxiA()if27011211[,],[,],,[,],,[,]iinnxxxxxxxxF.Y.Mengxi-1xi曲边梯形的面积2函数f(x)在区间[a,b]上的定积分1()niifxx定积分的几何意义为曲边梯形面积设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，把[a,b]分成宽为Δx的n个小区间，当n→∞时，的极限叫函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作：yxabxixi+Δxy=f(x)1()niifx0limx()dbafxx1lim()ninifxxF.Y.MengAA28[a,b]——积分区间——积分号；——被积函数；——被积表达式；——积分变量；——积分的下限与上限。()fx()dfxxx,ab说明()dbafxx定积分的几何意义：在不同的实际问题中，积分可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，它都表示由曲线y=f(x)、x轴及直线x=a，x=b所围成的曲边梯形面积的代数和。1()dlim()bniniafxxfxxF.Y.Meng29二、定积分的主要性质()d()dbaabfxxfxx()d()dbbaakfxxkfxx()dddbbbaaauvxuxvx()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx1、对调积分上下限，定积分改变符号2、被积函数中的常数因子可以提到积分符号外面3、两个函数的和或差在[a,b]上的定积分等于这两个函数分别在[a,b]上定积分的和或差4、如果把区间[a,b]分成[a,c]和[c,b]则30F.Y.Meng2015-09-156三、牛顿—莱布尼茨公式设F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,即F'(x)=f(x),则()dbafxx通过不定积分计算定积分！120dxx例31130x13例已知：物体速度0atvv其中v0，a是常数求：0-t时间内的路程00()dtsattv000ddtttattv200012tttatv2012tatv31()d|bafxx()|baFx()()FbFaF.Y.Meng例题用定积分计算曲线长度lxdxdyOyx1x2xy=f(x)ddyyxdl22d(d)(d)lxy21()dyx21dxxll21dxxl2121()dxxlyx22(d)(d)xyx21()dfxx32F.Y.Meng§3常微分方程在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要