空间向量与立体几何(建系途径)

1ABCDEA1B1C1D1xyz空间向量与立体几何建立空间直角坐标系的途径途径一：利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．垂直线线垂直线面垂直面面垂直1、如图，在长方体ABCD1111ABCD中，AD=1AA=1，AB=2，点E在棱AB上移动。建立如图所示的空间直角坐标系。（1）证明：11DEAD；（2）求平面1ACD的一个法向量及单位法向量。解：设AEa，则1(1,0,1)A，1(0,0,1)D，(1,,0)Ea，(1,0,0)A，(0,2,0)C。（Ⅰ）证明：由1(1,0,1)DA，1(1,1,1)DEa，11(1,0,1)(1,1,1)110DADEa，有11DADE，于是11DEAD。（Ⅱ）(1,2,0)AC，1(1,0,1)AD。设平面1ACD的法向量为(,,1)nxy，单位法向量为0n，由100nACnAD(,,1)(1,2,0)0(,,1)(1,0,1)0xyxy2010xyx，解得112xy。于是1(1,,1)2n。2、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点。（Ⅰ）求证：EF平面PAB；（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值。设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l⊥a∥uaku；l⊥ma⊥b0ab；⊥u⊥v.0vuABCDEFxyzP图52ABCDEFxyzP图5法1：（Ⅰ）证明：取PA中点G，连结FG，DG，。法2：证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD=PD=1，AB=2a（0a），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),11(,,)22Fa.得11(0,,)22EF，(2,1,1)PBa，(2,0,0)ABa。由11(0,,)(2,0,0)022EFABa，得EFAB，即EFAB，同理EFPB，又ABPBB，所以，EF平面PAB。（Ⅱ）解：由2ABBC，得22a，即22a。得2(,0,0)2E，211(,,)222F，(2,0,0)C。有(2,1,0)AC，2(,1,0)2AE，11(0,,)22EF。设平面AEF的法向量为(,,1)nxy，由00nEFnAE11(,,1)(0,,)0222(,,1)(,1,0)02xyxy11022202yxy，解得12yx。于是(2,1,1)n。设AC与面AEF所成的角为，AC与n的夹角为,ACn。3则(2,1,0)(2,1,1)3sincos,6210211ACnACnACn。3、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝2a，M是AD的中点。求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.),0,22(aaMC,)0,,22(1aaMA,求出平面A1MC的一个法向量为:)22,22,(222aaam,又),,2(1aaaBD,),,0(1aaBA,求出平面A1BD1的一个法向量为:)2,2,0(22aan,0nm,nm,即平面A1MC平面A1BD1.4、在正三棱锥ABC－A1B1C1中，11ABBC，求证：11BCAC.4EPDCBAOFABCDPEQMABDCOPxyzMABDCOP途径二：利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．5、如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,求二面角CPAB的余弦值.解：设二面角CAPB的平面角为，平面PAB的法向量为(1,1,1)n.设平面PAC的法向量为2(,,)nxyz,12(0,,0)2nOBa.11232cos3232annnna.6、如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱4ABC，OAABCD底面，2OA，M为OA的中点。求异面直线AB与MD所成角的大小。方法1：作APCD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为,,xyz轴建立坐标系.方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交AC于E，取OC中点为F，以E为原点，EB、EC、EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.5途径三利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．7、在四棱锥P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB等边三角形.求二面角B—AC—P的余弦值。解（1）建立如图的空间直角坐标系O—xyz，则A（－1，0，0），B（1，0，0），则P（0，0，3），C（1，2，0）设),,(zyxn为平面PAC的一个法向量，则.,PCnPAn又),3,2,1(),3,0,1(PCPA.032,03zyxzx令z=1，得3,3yx得).1,3,3(n又OP是平面ABC的一个法向量，设二面角B—AC—P的大小为，则.77373||||,coscosOPnOPnOPn8、如图，在三棱锥PABC中，PAPB，PAPB，30ABBCBAC，，平面PAB平面ABC.（Ⅰ）求证：PAPBC平面；（Ⅱ）求二面角PACB的余弦值；（Ⅲ）求异面直线AB和PC所成角的正弦值.解：作POAB于点O，平面PAB平面ABC，PO平面ABC.过点O作BC的平行线，交AC于点D.如图，以O为原点，直线ODOBOP，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.6PAPB设.PAPB，233ABPOBOAO，.30ABBCBAC，，tan302BCAB.(000)(030)(030)(230)OABC，，，，，，，，，，，，(003)P，，，(100).D，，（Ⅰ）证明(033)(200)PABC，，，，，，0PABC，PABC.又PAPB，PAPBC平面.6（Ⅱ）解作OMAC于点M，连结PM.PO平面ABC，根据三垂线定理得PMAC，PMO是二面角PACB的平面角.在RtAMO中，3sin3022AOOMAO，33044M，-，，从而3333034444MOMP，，，，，，5cos5MOMPMOMPMOMP，。（Ⅲ）解0230233ABPC，，，，，-，30cos10ABPCABPCABPC，，异面直线AB和PC所成角的正弦值为1070平行于垂直证明一、平行9、已知正三棱柱ABC－A1B1C1，D为AC中点。求证：直线AB1∥平面C1DB；A1C1CBAB17二、求角10、如图在直三棱柱111ABCABCACAB2ACAB41AA点D是BC的点求异面直线BA1与DC1所成角的余弦值解:(1)以1,,AAACAB为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyzA则)0,0,0(A)0,0,2(B)0,2,0(C)4,0,0(1A)0,1,1(D)4,2,0(1C∴)4,0,2(1BA)4,1,1(1BA[]∴10103182018,cos111111DCBADCBADCBA∴异面直线BA1与DC1所成角的余弦值为1010311、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角的余弦值.解(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450.(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，23，0），B（23，0，0）,D（0，23，8），E（0，0，8），F（0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(FEBD10828210064180||||,cosFEBDFEBDEFBD.12、如图，在三棱锥ABCP中，6ABBC，平面PAC平面ABC，ACPD于点D，1AD，P83CD，3PD．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明1：因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PD平面PAC，ACPD，所以PD平面ABC．…………………………………………………………………………………1分记AC边上的中点为E，在△ABC中，ABBC，所以ACBE．因为6ABBC，4AC，所以2222622BEBCCE．………………3分因为PDAC，所以△PCD为直角三角形．因为3PD，3CD，所以22223323PCPDCD．………4分连接BD，在Rt△BDE中，因为2BE，1DE，所以2222213BDBEDE．…………5分因为PD平面ABC，BD平面ABC，所以PDBD．在Rt△PBD中，因为3PD，3BD，所以2222336PBPDBD．…………………………………………………6分在PBC中，因为6BC，6PB，23PC，所以222BCPBPC．所以PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面PAC平面ABC，平面PACI平面ABCAC，PD平面PAC，ACPD，所以PD平面ABC．…………………………………………………………………………………1分记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为ABBC，所以ACBE．因为6ABBC，4AC，所以2222622BEBCCE．………………3分连接BD，在Rt△BDE中，因为90BEDo，2BE，1DE，所以2222213BDBEDE．………………………………………………………4分在△BCD中，因为3CD，6BC，3BD，所以222BCBDCD，所以BCBD．……………………………………………………………5分因为PD平面ABC，BC平面ABC，所以BCPD．…………………………………………………………………………………………6分因为BDPDD，所以BC平面PBD．BPACDE9因为PB平面PBD，所以BCPB．所以PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则APH为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积1222ABCSACBE．…………………………………………9分因为3PD，所以13PABCABCVSPD12622333．…………………………10分由（1）知PBC为直角三角形，6BC，6PB，所以△PBC的面积