彩票中的数学(数学建模)

1彩票中的数学摘要近年来，各地掀起了购买彩票的热浪，各种各样的彩票接踵而至。主要有两种形式的彩票比较常见，一种是“传统型”的，另一种是“乐透型”的。各种奖励出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力成了评价一个彩票好坏的重要因素，对彩票商们设置彩票有重要的参考意义。模型主要通过这三种因素研究各种彩票的合理性。对于问题一我们根据这三种因素的权重定义了合理性函数，然后算出不同方案的合理性，达到评价各种方案合理的目的。对于问题二，我们主要是根据第一问给出的合理性函数用非线性规划的方法加以解决。至于给有关部门提建议、给彩民写信主要是根据上面所得到的结果，写成书面的形式加以展示。问题一的解决依赖于我们给出的合理性函数F（）。首先，我们确定这三个因素是以怎样的形式影响合理性的，我们把中奖概率之和作为第一个因素评价合理性的方式、把回报率条件期望做为第二个因素评价合理性的方式、把回报率期望作为第三个因素评价合理性的方式，接着我们根据三个方面的因素，分别确定三个因素在评价合理性当中所占的权重确定合理性函数，这主要是应用层次分析法加以解决。实际上，各种奖项出现的可能性、奖项和奖金设置这两个因素可以放映到对彩民的吸引力上，根据这一特点，我们可以对模型从另一个角度进行解决，构造吸引力函数()A。然后根据各种不同方案的奖项概率、购买人的心理曲线确定()A，从而，建立了另一种模型。对于第二问我们把得到的合理性函数F（）作为目标函数，然后根据题意确定约束条件。最后通过MATLAB软件解出最优的方案。然后根据结果以书信的方式向有关部门提出建议。第三个问题，主要还是跟据前面的结果，以书信的形式通过报社向社会公布，供彩民参考。关键词：合理性函数F（）吸引力函数()A概率和（因素）x回报率条件期望（因素）y回报率期望（因素）z2目录第一部分问题重述…………………………………………………………()第二部分问题分析…………………………………………………………()第三部分模型的假设…………………………………………………………()第四部分定义与符号说明…………………………………………………()第五部分模型的建立与求解………………………………………………()1．问题1的模型………………………………………………………………()模型I(…（随机规划）模型)……………………………………………()模型II(………（数学)的模型)………………………………………….()………………………………………………………………………………….2．问题2的模型………………………………………………………………()模型I(………数学的模型)………………………………………………()模型II(………数学的模型)…………………………………………….()……………………………………………………………………………….第六部分对模型的评价………………………………………………………()第七部分参考文献……………………………………………………………()第八部分附录…………………………………………………………………()3一、问题重述“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如下表（1）（X表示未选中的号码）。中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXxcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如下表（2）中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）●●●●●●选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）注：●为选中的基本号码；★为选中的特别号码；○为未选中的号码。4以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。二、问题分析对于问题一的研究，关键在于如何确定原则来评价各种方案的合理性，这些原则又取决于各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力这三个因素。可以看到每次彩票的奖励比例是不变的，都是销售额的50%。那么，如果彩票销售得越多，彩票销售商的利润就越多。这是我们问题分析的基础。彩票销售额的多少，取决于彩民对彩票的偏好。具体来说，如果各种奖项出现的可能性越大，那么，彩民中奖的概率越大，彩民就会偏好这种彩票。如果奖项和奖金额的设置合理的话，彩民的偏好度就越大，具体的我们以回报率条件期望为准则，也即，在中奖的基础上所能得到的期望奖金越多，这种彩票的优势自然会大一些。为了能和前面的概率和统一起来，可以采取回报率来反映这种期望。至于第三个因素，一种彩票对彩民的吸引力可以用多种的指标来表示，这里我们采用回报率期望来加以反映。主要是为了与前面的概率和、回报率条件期望统一量纲。接着，确定这三种因素在评价合理性方面的权重。这一点，可以使用层次分析法，尽管这种方法的主观因素会强一些。但是，在研究权重方面还是有一定的借鉴意义的。在得到各种因素的权重之后，我们就可以确定合理性函数F（），这是一个关于zxy、和（其中x是关于各奖项的中奖概率之和，y是关于回报率的条件期望，z是关于回报率的数学期望。）的线形函数(,,)FFxyzAxByCz（）=其中A表示各奖项的中奖概率之和所占的权重，B表示回报率的条件期望所占的权重，C表示回报率的数学期望的权重）。以此，我们可以建立模型。接着我们考虑到彩票对彩民的吸引力和各种奖项的可能性以及奖项和奖金的配置是相关的，于是，我们转换一下思路，把合理性直接与对彩民的吸引力对等起来，同时把彩民的心理因素考虑进来。接着，构造中奖概率和中奖金额这两个变量和吸引力之间的联系，一种简单的想法是中奖的概率越大，得到的中奖金额越多，对股民的吸引力就越大。然后，由模糊隶属度描述的人的心理曲线为：5)0(1)(2xex我们假设这两个变量对股民的吸引曲线也满足这样一个关系，可以得到一个吸引力函数()A，也即，合理性函数。这样我们就建立了模型。对于问题二的研究，前面我们已经得到了合理性函数，接下来只要得到该函数的最大值，并得到满足最大值时的条件即可以得到最优方案。那么，如何求该函数的最大值呢？我们首先的想法是条件极值，但是，我们发现F（）的最终表达式当中有整数变量，这一点不易实现。于是我们考虑用非线性规划解决此问题，具体的以合理性函数F（）为目标函数，根据题目的条件确定约束条件。最后可以用MATLAB软件加以解决。至于第二问不是我们考虑的重点，根据前面的结果写成论文即可。问题三也可以这样处理。三、模型假设1．题目所给的数据正是可靠；2.彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的；3.彩民购买彩票是随机的独立事件；4.对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；四、定义与符号说明(1,...,7)ipi…表示各奖项的中奖概率。(1,2,3)iqi…表示各大奖项的奖金比例。(4,5,6,7)iqi…表示各小奖项的奖金额。F（）…表示合理性函数。()A…表示吸引力函数。()x…表示模糊隶属度描述的曲线。x…表示各奖项概率和。y…表示回报率条件期望。z…表示回报率的数学期望。N…表示购买人数。61K…表示10选6+1（6+1/10）型。2K…表示m选n(n/m)型。3K…表示m选n+1（n+1/m）型。4K…表示m选n(n/m)无特别号型。五、模型的建立与求解第一部分：准备工作（一））计算各种方案的各个奖项的概率：1．1K型彩票的中奖概率确定7611021051p7621081054p，56193101.8102Cp461919110194102.61102CCCCp,361101919110110195103.421022CCCCCCp261919191101101919110110110196104.199510)23(32CCCCCCCCCCCp2.2K型彩票的中奖概率确定：mnCp11，mnmmCCp12，mnmnmmCCCp1)1(13，mnmnmmCCCp1)1(24，mnmnmmCCCp2)1(25，mnmnmmCCCp2)1(36，mnmnmmCCCp3)1(37。3.3K型彩票的中奖概率确定：111mnCp，11)1(2mnmnCCp，11)1(13mnmnmmCCCp，12)1(14mnmnmmCCCp，12)1(25mnmnmmCCCp，13)1(26mnmnmmCCCp，13)1(37mnmnmmCCCp。4.4K型彩票的中奖概率确定：7mnCp11，mnmnmmCCCp112，mnmnmmCCCp223，mnmnmmCCCp334，mnmnmmCCCp445。各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率71iixp，以及归一化比例271()imiiixPxx，如下表。表一：奖项序号一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖得奖概率和71iixp归一化比例271()imiiixPxx10.000000250.000000750.00001350.00018230.00220.03280.035220.000000250.000000750.00001350.00018230.00220.03280.035230.000000250.000000750.00001350.00018230.00220.03280.035240.000000250.000000750.00001350.00018230.00220.03280.035250.0