第五章-均值向量推断

),(bemusteveryfor)','(:')','(:'),(:2211ΣμXaΣaaμaXaΣaaμaXaΣμXppppNNNXaXaXaN3边际分布),(:inofondistributiMarginal),()','(:'',''],0,,0,1['),(:]',,,[111111121iiiippNXNNXNXXXXΣaaμaXaΣaaμaXaaΣμX4),(:)',(:),(:1121211111ΣdμdXAΣAAμAXΣμXpqpqpqpppppNNXaXaXaXaXaXaN且则如5例子向量的线性组合32221123323221322231213222312221211322132132213,withverifiedbecan)',(:22'110011),(:XXYXXYNXXXXXXXNAAΣAμAXAAΣAμAXΣμX6),(:||,,),(:11112221121121)1)((2)1(1ΣμXΣΣΣΣΣμμμXXXΣμXqqpqpNNProof:Set()()(())AI|0qpqqqpq7例子正态随机向量子集的分布44242422422144242422114214215,:,,),(:NXXNXΣμXΣμX8正态下独立的特征)alsoandoftindependenis(tindependenareandtindependennot:,200031014),(:2133211213XXXXXXXXNXΣΣμX9条件分布211221211221221211221222221121121210ΣΣΣΣμxΣΣμXxXXΣΣΣΣΣΣμμμΣμXXX协方差，均值的条件分布为正态，且时，给定)(,||,),,(:pN101001N(b):(a)02p2p2p1p2p1百分位数分布的上表示的概率为分布，给定属于椭球)()(,)}()()'(:{),()()'(),,(:μXΣμXxμXΣμXΣΣμXpN11随机向量的线性组合njjjnjjnjjnnnjnjjjjpnnjpnbcbcbbbccNcccN121121212211211222111j21VV0and独立和，则若的联合正态分布是协方差矩阵为相互独立cbΣΣcbΣcbΣVXXXVΣμXXXVΣμXXXX')()'()'()()(,:),(:,,,12例随机向量的线性组合31212322213211343212223'3')','(:'201011113,113),(identicaltindependen:,,,aaaaaaaaaaNNΣaaμaΣaaμaXaΣμΣμXXXX130ΣVVXXXXVΣΣΣμμμΣμXXXXVVVVV41214321241241343211)(),Cov(,3201011113)(2262),(:212121211111jjjjjjjjbcccN例随机向量的线性组合14样本协方差的抽样分布和随机向量的独立乘积之威沙特分布：多元正态威沙特分布在多元统计中在一元统计中的随机样本来自)|)1()1(:0111:112122221212221ΣSZZSΣ0XXZΣμXXXn-Wn-NNZZsnXXsnpNnnjjjpjjjnjjnnjjpn(:),(:),(:,)(:)(),(:,,,'15Q-Q图：评估正态性假定的图形为实际分位数如果数据为正态，那么看散点图是否线性画的比例如足够大且大，排序后第个观察值排序的单一特征分位数之间的关系观察到的值确实是正态分布时会展示样本分位数与观测.q21212120,nj2212)()()()(/)()()()()()(,/][/)(/::)(jjjjzqjjjinqxxqnjdzeqZPnjnjxxnxnXxxxj如何作QQ图17例子4.918Example4.919QQ图的直线性可以通过相关系数来度量。如r降为表4.2中适当值之下，拒绝正态性假定.njjnjjnjjjQqqxxqqxxr12)(12)(1)()()()())((20Q-Q图相关系数检验的临界点21例题4.11hypothesisnormalityrejectnotDo9351.010.0,10994.0,795.8472.8,584.80,770.04.9,ExamplefromdataFor1012)(1012)()(101)(QQjjjjjjjrnrqxxqxxqx22二元正态评估cppqjnnjn2,11(()/)(()/)22niiaaxxxNnnuuNuuuNa21/2/21~(0,),~(0,1),||,(0,1)/2其中为样本均值。当假设成立时统计量服从正态分布从而拒绝域为为的上分位数2020/11/1中国人民大学六西格玛质量管理研究中心2421001020(,)::/nNxxHHxun设从总体中抽取一个样本,,,我们要检验假设：当已知时，用统计量2020/11/1222210(),,(1)niixxSnxtnS当未知时用作为的估计构造统计量ntnt/21(1)/2为的上分位数。/21(1)tntttn当假设成立时，统计量遵从自由度为的分布拒绝域为=(S)F22'21000222()()()~(1)~(1,1),nxtnxxStttntFnt分布是一元统计中t分布的推广。在一元统计中，若统计量分布，则分布即把分布的统计量转换为统计量来处理27假设检验)2/()()(,i.e.)2/(/iflevelcesignificanatoffavorinReject21012021010nntxsxnttnsxtHH28置信域Donotrejectatlevelorliesintheconfidenceinterval001010/20/2(/2)/100(1)(/2)(1)(1)nnxHtsn-α%sxtnSSxtnxtnnn在显著性水平为时的置信区间一、多元均值向量的检验设x1,x2,⋯,xn是取自总体x~Np(μ,Σ)的一个样本，这里Σ0,np，欲检验H0：μ=μ0，H1：μ≠μ01.Σ已知检验统计量为拒绝规则为：若，则拒绝H021000TnxμΣxμ220Tp霍特林T2统计量2022210002/()()()()xunnxunxx一元统计中，当已知时，001~(0,),:pXNnH知当成立时，由多元统计分布的性质，有1200001npn'1'()()()()()~()XXXX2020/11/1当给定显著性水平后，由样本值可以算出的值，当便拒绝零假设，说明均值μ不等于，其中是自由度为P的分布的分位点。即统计量实质上是样本均值与已知平均水平之间的马氏距离的倍，这个值越大，μ与相等的可能性就越小，因而，在备择假设成立时，有变大的趋势，所以拒绝域应取为值较大的右侧部分。式中是样本均值，是样本容量。n01H20T20TXn0X20T2'12000()()()pTnxx20T0H02()p2220{()}pPT2.总体协方差矩阵未知时用样本协方差矩阵S替代总体协方差矩阵，由T2分布的性质，当H0成立时2100()()μμTnXSX检验规则：22202220(,)(1)(,)(1)npTFpnpTTHpnnpTFpnpTTHpn当或时，拒绝；当或时，接受。2(1)(,)pnTFpnpnp与同分布这里2(1)(,)pnTFpnpnp33T2分布的实质d.f.d.f.d.f.pnjjjpnppnppppnpXNnXXXXTnXnXnTNWNnpnpFFpnp1120012,1,1,1,~(,(1/))''11(0,)'()(0,)1(1)1()多元正态多元正态威沙特随机矩阵自由度随机向量随机向量34假设检验11200100,''1(μ)'S(μ)(1)()njjjpnpXXXXTnXnXnnXXnpFnp若则在显著性水平下，拒绝原假设35例题5.1计算T21,223,222104)23(2)13(:97569827/49/19/13/15698327/49/19/13/19334,6859,3861096FFTTSSxμX36例题5.2均值向量检验level%10attheReject18.874.918.8)1.0(17319)10.0()()1(:valueCritical74.9,402.0002.0258.0002.0006.0022.0258.0022.0586.0628.3640.5810.1640.5788.199010.10810.1010.10879.2,965.9400.45640.4normalitycheck,200.10.levelaatTest10504':,10504':0217,3,2110HTFFpnpnTnHHpnpSSxμμ2020/11/1例对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如下表。根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的这三个指标的均值现欲在多元正态性假定下检验该地区农村2周岁男婴是否与城市2周岁男婴有相同的均值。取0.01。0(90,58,16),μ编号身高（cm）胸围（cm）上半臂围（cm）17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.02020/11/1解：82.060.214.5x在显著性水平0.01下拒绝原假设H0，即认为农村2周岁男婴与城市2周岁男婴上述3个指标的均值有显著差异。08.0()2.21.5xμ2100()()420.445TnSxμxμ10.18630.63190.38660.63192.58401.615