专题训练：用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题(含答案)

沈进老师专用资料-1-专训1用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用系数k的几何意义求解．反比例函数的系数k与面积的关系1．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－4x和y＝2x的图象交于A点和B点，若C为x轴上的任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为()A．3B．4C．5D．6(第1题)(第2题)(第3题)2．如图，P是反比例函数y＝kx的图象上一点，过P点分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为()A．y＝－6xB．y＝6xC．y＝－3xD．y＝3x3．【2016·菏泽】如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为()A．36B．12C．6D．3(第4题)(第5题)(第6题)4．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝1x的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为()A．1B．2C．3D．4沈进老师专用资料-2-5．如图，函数y＝－x与函数y＝－4x的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为()A．2B．4C．6D．86．【2016·本溪】如图，点A，C为反比例函数y＝kx(x＜0)图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为32时，k的值为()A．4B．6C．－4D．－6已知面积求反比例函数的表达式题型1已知三角形面积求函数表达式7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，已知S△AOB＝4.(1)求该反比例函数的表达式和直线AB对应的函数表达式；(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．(第7题)沈进老师专用资料-3-题型2已知四边形面积求函数表达式8．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝kx在第二象限的图象的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3.(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．(第8题)已知反比例函数表达式求图形的面积题型1利用对称性求面积9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y＝－6x，y＝6x，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？(第9题)沈进老师专用资料-4-题型2利用点的坐标及面积公式求面积10．如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y＝k2x(x＜0)的图象相交于点A，点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的表达式；(2)求△AOC的面积．(第10题)题型3利用面积关系求点的坐标11．【2016·兰州】如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A(3，1)在反比例函数y＝kx的图象上．(1)求反比例函数y＝kx的表达式；(2)在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP＝12S△AOB，求点P的坐标；(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，点A，O的对应点分别为点E，D.直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．(第11题)沈进老师专用资料-5-参考答案1．A点拨：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ABC＝12AB·h＝12(AP＋BP)·h＝12(AP·h＋BP·h)＝12(|－4|＋|2|)＝12×6＝3.故选A.2．A3．D点拨：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a，b，可得出B点坐标为(a＋b，a－b)．因为点B在反比例函数y＝6x第一象限的图象上，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝6.所以S△AOC－S△BAD＝12a2－12b2＝12(a2－b2)＝12×6＝3.故选D.4．A5．D点拨：由题意，易得出S△ODB＝S△AOC＝12×|－4|＝2.易知OC＝OD，AC＝BD，所以S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2.所以四边形ACBD的面积为S△AOC＋S△ODA＋S△ODB＋S△OBC＝8.6．C点拨：设点C的坐标为m，km，则点E12m，k2m，A12m，2km，根据三角形的面积公式可得出S△AEC＝－38k＝32，由此即可求出k值．7．解：(1)如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D.由题易知OA＝2，BD＝n.∴S△AOB＝12OA·BD＝12×2n＝4.∴n＝4.∴B点的坐标为(2，4)．∴反比例函数的表达式为y＝8x.设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，由题意得－2k＋b＝0，2k＋b＝4，解得k＝1，b＝2.∴直线AB对应的函数表达式为y＝x＋2.沈进老师专用资料-6-(第7题)(2)对于y＝x＋2，当x＝0时，y＝0＋2＝2，∴C点的坐标为(0，2)．∴OC＝2.∴S△OCB＝S△AOB－S△AOC＝4－12×2×2＝2.8．解：(1)由题中图象知k＜0，由已知条件得|k|＝3，∴k＝－3.∴反比例函数的表达式为y＝－3x，一次函数的表达式为y＝－x＋2.(2)由y＝－3x，y＝－x＋2，解得x1＝－1，y1＝3，x2＝3，y2＝－1.∴点A，C的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P的坐标为(0，m)，直线y＝－x＋2与y轴的交点为M，则点M的坐标为(0，2)．∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝12PM(|－1|＋|3|)＝5，∴PM＝52，即|m－2|＝52.∴m＝92或m＝－12.∴点P的坐标为0，92或0，－12.9．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD分成四个全等的小矩形．因为点A为y＝6x的图象上的一点，所以S矩形AEOH＝6.所以S矩形ABCD＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．所以所需钢条一共要花600元．10．解：(1)∵点A(－2，4)在反比例函数y＝k2x的图象上，∴k2＝－8.∴反比例函数的表达式为y＝－8x.沈进老师专用资料-7-(2)∵点B的横坐标为－4，且点B在反比例函数y＝－8x的图象上，∴其纵坐标为2.∴点B的坐标为(－4，2)．∵点A(－2，4)，B(－4，2)在直线y＝k1x＋b上，∴4＝－2k1＋b，2＝－4k1＋b，解得k1＝1，b＝6.∴直线AB对应的函数表达式为y＝x＋6.当y＝0时，x＝－6.∴点C的坐标为(－6，0)．∴S△AOC＝12×6×4＝12.11．解：(1)∵点A(3，1)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝3×1＝3.∴反比例函数的表达式为y＝3x.(2)∵A(3，1)，AB⊥x轴于点C，∴OC＝3，AC＝1.由题意易得△AOC∽△OBC，∴OCBC＝ACOC.∴BC＝OC2AC＝3.∴B点坐标为(3，－3)．∴S△AOB＝12×3×(1＋3)＝23.∴S△AOP＝12S△AOB＝3.设点P的坐标为(m，0)，∴12×|m|×1＝3.∴|m|＝23.∵P是x轴的负半轴上的点，∴m＝－23.∴点P的坐标为(－23，0)．(3)点E的坐标为(－3，－1)．点E在该反比例函数的图象上，理由如下：∵－3×(－1)＝3＝k，沈进老师专用资料-8-∴点E在该反比例函数的图象上．