二次量子化简介

1第五章二次量子化方法主要内容§5.1全同粒子系的量子态的描述§5.2Bose子体系的单体和二体算符的表达式§5.3Fermi子体系的单体和二体算符的表达式§5.4坐标表象与二次量子化§5.5Hartree-Fock自洽场独立粒子模型2给这些算符找一些作用对象，用来描述系统的量子状态。一次量子化：是由经典力学过渡到量子力学采用的方法。把经典力学系统的正则坐标何谓二次量子化方法iqipiqˆipˆ和正则动量用算符表示：，使它们满足一定的对易关系：iqˆjpˆiji[，]=二次量子化方法：是从单粒子的量子理论出发，通过类似的方法建立全同粒子系统的量子化方法。用产生和湮灭算符来表示力学量的算符和波函数，称之为二次量子化方法。3何谓全同粒子？各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、电荷、自旋…人们根据它们的属性不同分别称为电子，质子，介子，等等。实验证明，每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的质子或电子都一样）。质量、电荷、自旋等所有内禀属性都相同的粒子叫做全同粒子。例如：所有的电子都是全同粒子，所有的质子也是全同粒子，但质子和电子不是全同粒子。既然全同粒子的内禀固有属性都相同，它们之间完全不可区分，对粒子就不能进行编号。这和经典力学不同。4经典物理学中，我们习惯称这是电子1，那是电子2……，它们在外力作用下，按自己的轨道运动，我们在任何时刻都能跟踪它，我们不会误认电子1为电子2，即可以按轨道来区分不同的粒子。rdrr111n12n2但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。它不能或根据一些力学量完全集来描述个粒子处于态；个粒子处于但它不可能告诉你，哪一个粒子处于绘粒子所处状态。即用轨道的概念来描述，而只能用波函数来描述。根据波函数来描述出现在的体积之中几率大小态……。1一个粒子处于态，那2态，等等。5注意：全同性原理只是说全同粒子不可区分，不可编号，但并不是说它们的量子态不可区分。例如：氢原子中电子的波函数用smmln,,,smmln,,,表示，的不同取值，就标志了电子处在不同的量子态。四个量子数坐标，动量等来描述。应该将多粒子体系的问题由全同性原理的最根本意义在于：应该用处于某一个量子态的粒子的数目来描写体系的状态，而不是用它的原来的表象（例如：坐标表象，动量表象等）经过表象变换后，换到粒子数表象中进行讨论。6何谓粒子数表象？粒子数表象用第一个量子态中有n1个粒子，第二个称为二次量子化方法。量子态中有n2个粒子……来表征。只能说某一个量子态中有几个粒子,但不能明确指明是那几个粒子。这种用粒子数表象来讨论全同粒子系统的方法，7粒子都有一定的寿命，都有生和死。因此可以用产生引入粒子数表象的另一个优点在于：它能描述粒子的产生和湮灭。在微观世界中，绝大部分算符和湮灭算符来处理全同粒子系统。85－1全同粒子系的量子态的描述一.粒子数表象对于由全同粒子组成的体系，由于粒子的不可分辨性，全同粒子的波函数只能取对称的或反对称的。用对称波函数s描述的全同粒子体系：玻色子体系（Bose）,自旋量子数是的整数倍（光子，介子……），遵守Fermi-Dirac统计.9A用反对称波函数费米子体系（Fermi）,自旋量子数是（电子，质子，中子……），遵守Bose-Einstain统计.描述的全同粒子体系：的半整数倍),(21NjiqqqqqijP引进一个置换算符：举例：有N个全同粒子体系的波函数ijP),(21Njiqqqqq),(21Nijqqqqq＝1012ijPijP1显然：，的本征值1若ijP),(21Njiqqqqq),(21Njiqqqqq),(21Nijqqqqq＝＝s则―对称波函数（当两粒子交换，波函数不变，即处于对称态）ijP),(21Njiqqqqq),(21Nijqqqqq＝11ijP),(21Njiqqqqq),(21Njiqqqqq),(21NijqqqqqA＝＝则―反对称波函数即处于反对称态）（当两粒子交换，波函数反号，1若，则：12sA如何构造，？以N=2,N=3为例：N=2有2个量子态：),(),,(1221qqqq对称波函数：),(),(21),(122121qqqqqqs反对称波函数：),(),(21),(122121qqqqqqA13N=3有6个量子态：),,(321qqq),,(132qqq),,(213qqq),,(312qqq),,(231qqq),,(123qqq对称波函数：),,(),,(),,(),,(),,(),,(61),,(123231312213132321321qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqs反对称波函数：),,(),,(),,(),,(),,(),,(61),,(123231312213132321321qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqA14若忽略N个粒子间的相互作用，则N个全同粒子的波函数为N个单粒子波函数的乘积。即：)()...()()...,(2121NNNqqqqqq1.多粒子体系波函数的二次量子化表示对全同粒子的体系而言，N个粒子构成的状态可以有以下三种表示形式：nnnnnnqqqN,...,|,...,|),...,(212121,...,21其中qi表示第i个粒子的全部坐标和自旋变量，j表示粒子的第j个单粒子状态相应的全部量子数，nk表示第k个单粒子态上的粒子数。151.多粒子体系波函数的二次量子化表示（1）组态空间的多粒子体系波函数),...,(21,...,21nqqqN表示组态空间中的N体波函数，它是有N个单粒子态构成的，对费米子而言它是反对称的波函数，对玻色子来说它是对称波函数。nnnqqqnnN,...,|,...,|),...,(212121,...,21161.多粒子体系波函数的二次量子化表示n,...,|21n,...,21（2）福克空间的多粒子体系波函数表示N个粒子占据了用量子数标志的N个单粒子态，它并不考虑哪个单粒子态被哪一个粒子占据，显然，这与全同粒子的不可区分性是一致的，称n,...,|21是福克空间的一个态矢。nnnqqqnnN,...,|,...,|),...,(212121,...,21171.多粒子体系波函数的二次量子化表示nnn,...,|21nnnqqqnnN,...,|,...,|),...,(212121,...,21（3）粒子数表象中的多粒子体系波函数也可表示N个粒子的状态，具体来说，就是在第k个单粒子态上有nk个粒子，称为粒子数表象中的态矢。对N个粒子的体系而言：Nnik1对于费密子体系，nk＝0，1；对玻色子体系，nk可取不同的值。18)()()()(21)()()()(21),(2211122121qqqqqqqqqqA2.N个全同费米子体系的波函数N=2)()()()()()()()()(!31),,(333222111321qqqqqqqqqqqqAN=319)(...)()()(...)()()(...)()(!1)...,(21212121...NNNNAqqqqqqqqqNqqq)]()...()([!121NNppqqqPN推广：在坐标表象中，N个全同费米子的归一化的量子态：P－置换算符1p是置换P的奇偶性。斯莱特（slater）行列式20根据斯莱特（slater）行列式的性质，可以看出：21qqA（1）交换任意两个粒子的坐标（于交换行列式的两列元素，行列式将改变符号，是反对称的。），相当即（2）若有两个或两个以上的粒子的单粒子态相同，例如：则行列式中两行元素相同，所以0A。)(...)()()(...)()()(...)()(!1)...,(21212121...NNNNAqqqqqqqqqNqqq结论：对于全同费米子体系，处于每个粒子态上的数目不能超过1，此即Pauli原理。21])(...)()([!221121!NNnNknknkpiqqqPNin3.N个全同玻色子体系的波函数对于N个全同玻色子体系，波函数对任何两个粒子的交换是对称的。所以可以有多个粒子处于同一个单粒子态。单粒子态Nkkk...,21Nnnn...,21)(Nnii粒子数)...,(21...321NnnnnsqqqN归一化系数!!!!21NinnnnP－处于不同单粒子态的粒子进行置换22Nnnn...,21)(Nnii粒子数归一化的对称波函数：)...,(21...321NnnnnsqqqN])(...)()([!221121!NNnNknknkpiqqqPNin归一化系数!!!!21NinnnnP－处于不同单粒子态的粒子进行置换因为对全同粒子的编号是没有意义的。所以利用坐标表象来描述全同粒子的量子态是比较麻烦的。只需要把处于每个单粒子态上的粒子个数交待清楚，则全同粒子的量子态可以完全确定。23NkkknN...n,n2121（occupationparticlenumberrepresentation）所以为了避免对全同粒子进行编号，可以脱离具体的表象，采用粒子数表象（粒子填布数表象）－占有数表象全同玻色子体系的量子态可用下列右矢表示：N...n,nn21|24全同玻色子体系的量子态可用下列右矢表示：N...n,nn21|全同费米子体系，pauli原理要求01,ni或两个以上的粒子处于同一个单粒子态。量子态的表示：，即不可能有两个...111|,n,nnγβα（其余状态上没有粒子，不写）或：...,11,1|，...,,|（只标明了被粒子占据的单粒子态）25为了在粒子数表象中进行各种计算，引进粒子产生算符和消灭（湮没）算符。二.产生算符和湮没算符1.福克空间描述全同粒子状态的波函数必须正确反映全同粒子的性质。在组态空间中，为反映费米子体系的属性引入了斯莱特行列式，它既满足泡利不相容原理又满足多体波函数反对称化的要求，但是当体系的粒子数较多时，非常麻烦。福克空间的态矢与粒子数表象中的态矢同样可以表示全同粒子体系的状态。26二.产生算符和湮没算符1.福克空间假设|0表示没有粒子的状态，称为真空态，|1表示一个粒子处于1的状态，|1，2表示两个粒子处于1，2的状态，|1，2，3表示三个粒子处于1，2，3的状态，…|1，2，…N表示N个粒子处于1，2，…N的状态.把由零矢量和上述态矢张成的空间称为福克空间。272.产生算符和湮没算符哈密顿量：222212xmmpH复习：一维谐振子的升降算符aˆ,aˆ]ˆˆ)([21ˆ2121xmpmiax]ˆˆ)([21ˆ2121xmpmiax定义二个无量纲的算符:281]ˆ,ˆ[aa)21ˆ()21ˆˆ(ˆNaaHaaNˆˆˆ则：Hermit算子，声子数算符n|)21(nEn设是H的本征态，本征值nNnaanHnnnEnHn|)21ˆ(|)21ˆˆ(|ˆ|)21(||ˆnnnN||ˆ（n=0,1,2…）n|Nˆ即：也是的本征态。29aaNaaNˆ]ˆ,[,ˆ]ˆ,[1|1