专题三--求椭圆及双曲线的离心率-的方法

求圆锥曲线离心率的专题求离心率问题有三种思路，一是求出,,abc三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,ac或,ab或,cb之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解,一般是依据题设寻求一个关于,,abc的等量关系，再利用,,abc的关系消去b，得到关于,ac的等式，再转化为关于离心率e的方程，解方程求出e的值，最后根据椭圆或双曲线的离心率的取值范围,给出离心率的值.1.（2016全国丙卷理11）已知O为坐标原点，F是椭圆:C22221(0)xyabab的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）.A.13B.12C.23D.342.已知双曲线:E22221xyab0,0ab，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且23ABBC，则E的离心率是_______.【解析】由题意，2BCc，又因为23ABBC，则3ABc，于是点3,2cc在双曲线E上，代入方程22221xyab，得2222914ccab，再由2cba=+22得E的离心率为2cea.考点1.利用题设条件求出,ac的值【例1】已知双曲线22219xyb(0)b，过其右焦点F作圆229xy的两条切线，切点记作C，D,双曲线的右顶点为E,0150CED，其双曲线的离心率为()A.239B.32C.3D.233【解析】由题意3a，易得ODOE，075CEOOCE,所以030COE，在RtOCF中，0230cos93bOFOC33212322acecb【例2】已知抛物线24yx的准线与双曲线22214xya交于,AB两点，点F为抛物线的交点，若FAB为正三角形，则双曲线的离心率是．【解析】根据已知条件画出图形（如右图），FAB为正三角形，且抛物线的准线为1x．在RtAKF中，30,2,AFKKF2323tan30,1,33AKKFA．又点A在双曲线上，22233114a，解得234a，又24b，22219,4cab故双曲线离心率19357223cea．考点2.根据题设条件直接列出,,abc的等量关系【例3】已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线与圆22(3)9xy相变于A.B两点，若||2AB，则该双曲线的离心率为（）A.8B.22C3D.4考点3.借助直角三角形的边角关系432112386422468xyxKOFAB【例4】【2012全国新课标，理4】设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，12FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）()A12()B23()C()D【解析】12FPF是底角为30的等腰三角形，22132()22PFFFacc，则34cea【例5】设1F，2F分别是椭圆222210xyabab的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于P，Q两点，若160FPQ，1PFPQ，则椭圆的离心率为（）A.13B.23C.233D.33【解析】由条件1PFPQ，则PQx轴，而0160FPQ，∴1FPQ为等边三角形，而周长为4a，∴等边三角形的边长为43a，焦点在直角三角形12PFF中，14||3aPF，22||3aPF，12||2FFc，∴22242()()(2)33aac，即223ac，∴22213cea，考点4.借助与其它曲线的关系求离心率【例6】点A是抛物线21:2(0)Cypxp与双曲线22222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线1C的准线的距离为p，则双曲线2C的离心率等于（）A．2B．2C．5D．4【解析】点A到抛物线C1的准线的距离为p，ppA,2适合xaby，422ab，5e【例7】如图，已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点恰好是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F，且这两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为________．【解析】如图，设F′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x轴上方的交点为A，连接AF′，所以|FF′|＝2c＝p，因为|AF|＝p，所以|AF′|＝2p.因为|AF′|＋|AF|＝2a，所以2a＝2p＋p，所以e＝ca＝2－1.考点5.利用椭圆或双曲线的定义求离心率【例8】椭圆)0(12222babyax上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF^BF,设6ABF，则该椭圆的离心率为（）A．22B．13C．33D．231【解析】取椭圆右焦点M，连接BMAM,，由椭圆对称性以及AF^BF知四边形AFBM为矩形，由6ABF得cAF，cAM3，由椭圆定义知aAMAF2，32cca，13e.【例9】设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P是C上一点，若216,PFPFa且12PFF的最小内角为30，则C的离心率为___.【例10】F1，F2是双曲线2222:1(,0)xyCabbab的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若22||:||:||3:4:5ABBFAF，则双曲线的离心率是（）A．3B．15C．2D．13【解析】画出图形，在2ABF中，根据题意可设223,4,5(0)ABtBFtAFtt，222222,ABBFAFABF为直角三角形．设1AFm，由双曲线的定义知1221BFBFAFAF，即345tmttm，∴3mt，∴212532aAFAFttt．在12RtBFF中，22221212(6)(4)213FFBFBFttt，∴13cea，故选D．考点6.借助双曲线的渐近线求离心率【例11】已知双曲线)0,0(1:2222babyaxE的两条渐近线分别为xylxyl2:,2:21.则双曲线E的离心率为_______________.【解析】因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以ba＝2，所以c2－a2a＝2，故c＝5a，从而双曲线E的离心率e＝ca＝5.【例12]已知双曲线22221xyab的一条渐近线的倾斜角的余弦值为31010，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于（）A．10B．3C．103D．73【解析】双曲线22221xyab的一条渐近线的倾斜角的余弦值为31010,所以131010e，即103e，故选C.考点7.利用弦中点坐标，代点相减求离心率【例13】过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于,AB，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为