东北师大附属中学高三一轮导学案：圆的方程【A】

圆的方程(教案)A一、知识梳理1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2.说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆.（2）圆的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）将（*）式配方得（x+2D）2+（y+2E）2=4422FED.当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（－2D，－2E），半径r=21FED422的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程.说明：①圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0）a.x2、y2项系数相等且不为零.b.没有xy项.②当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－2D，－2E），当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形.③据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.（3）圆的参数方程（4-4选讲内容）①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程为x=rcosθ，y=rsinθ②圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为x=a+rcosθ，y=b+rsinθ说明：在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+ADx+AEy+AF=0，仅当（AD）2+（AE）2－4·AF＞0，即D2+E2－4AF＞0时表示圆.故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①A=C≠0②B=0③D2+E2－4AF＞0.（θ为参数）.①（θ为参数）.②二、题型探究[题型探究一]圆的标准方程1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是A.－1t71B.－1t21C.－71t1D.1t2解析：由D2+E2－4F0，得7t2－6t－10，即－71t1.答案：C2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是A.｜a｜＜1B.a＜131C.｜a｜＜51D.｜a｜＜131解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部（5a+1－1）2+（12a）2＜1｜a｜＜131.答案：D3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当br时，圆与x轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当br时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|r时，才有圆与x轴相交，而br不能保证|b|r，故D是错误的.故选D.答案：D4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）.答案：（－1，2）5.已知P（1，2）为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________.解析：Rt△OMC中，|MP|=21|BC|（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.xyOBMCP故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0.答案：x2+y2－x－2y－2=0[题型探究二]圆的方程的应用：【例1】（2003年春季北京）设A（－c，0）、B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P的坐标为（x，y），由||||PBPA=a（a0）得2222)()(ycxycx=a，化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.当a=1时，方程化为x=0.当a≠1时，方程化为（x－1122aac）2+y2=（122aac）2.所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点（1122aac，0）为圆心，|122aac|为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为27，则有（2|3|bb）2+（7）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M（x，y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.ABCMOxyl∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，∴922yx=|y+3|.化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”.三、方法提升：1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.四、反思感悟1.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有x、y项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D2+E2－4F=0时，方程表示一个点（－2D，－2E），当D2+E2－4F0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握.五、课时作业：1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=0解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A2.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.答案：24.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d=5|10|=2.再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.答案：15.设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP·OQ=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）0，得2－32b2+32.由韦达定理得x1+x2=－（4－b），x1·x2=2162bb.y1·y2=b2－b（x1+x2）+x1·x2=2162bb+4b.∵OP·OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b2－6b+1+4b=0.解得b=1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y=－x+1.6.已知实数x、y满足x2+y2+2x－23y=0，求x+y的最小值.解：原方程为（x+1）2+（y－3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为x=－1+2cosθ，y=3+2sinθ22sin（θ+4π），当θ=4π5，即x=－1－2，y=3－2时，x+y的最小值为3－1－22.培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.xyOPC(2,0)（θ为参数，0≤θ2π），则x+y=3－1+2（sinθ+cosθ）=3－+1设xy=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2kk=3，解得k2=3.所以kmax=3，kmin=－3.（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=3，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之）（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b=3，即b=－2±6，故（y－x）min=－2－6.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+3，（x2+y2）min=｜OB｜=2－3.8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB=3124=－1，AB的中点为（2，3），故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆心坐标是方程组x－y+1=0，y=0半径r=22)40()11(=20，所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20.因为M1到圆心C（－1，0）的距离为22)03()12(=18，|M1C|r，所以M1