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当前位置:首页 > 临时分类 > 东北师大附属中学高三一轮导学案:圆的方程【A】
圆的方程(教案)A一、知识梳理1.圆的方程(1)圆的标准方程圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.说明:方程中有三个参量a、b、r,因此三个独立条件可以确定一个圆.(2)圆的一般方程二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*)将(*)式配方得(x+2D)2+(y+2E)2=4422FED.当D2+E2-4F>0时,方程(*)表示圆心(-2D,-2E),半径r=21FED422的圆,把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫做圆的一般方程.说明:①圆的一般方程体现了圆方程的代数特点:(Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0)a.x2、y2项系数相等且不为零.b.没有xy项.②当D2+E2-4F=0时,方程(*)表示点(-2D,-2E),当D2+E2-4F<0时,方程(*)不表示任何图形.③据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组,可确定圆的一般方程.(3)圆的参数方程(4-4选讲内容)①圆心在O(0,0),半径为r的圆的参数方程为x=rcosθ,y=rsinθ②圆心在O1(a,b),半径为r的圆的参数方程为x=a+rcosθ,y=b+rsinθ说明:在①中消去θ得x2+y2=r2,在②中消去θ得(x-a)2+(y-b)2=r2,把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆,则有A=C≠0,B=0,这仅是二元二次方程表示圆的必要条件,不充分.在A=C≠0,B=0时,二元二次方程化为x2+y2+ADx+AEy+AF=0,仅当(AD)2+(AE)2-4·AF>0,即D2+E2-4AF>0时表示圆.故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是:①A=C≠0②B=0③D2+E2-4AF>0.(θ为参数).①(θ为参数).②二、题型探究[题型探究一]圆的标准方程1.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)表示圆方程,则t的取值范围是A.-1t71B.-1t21C.-71t1D.1t2解析:由D2+E2-4F0,得7t2-6t-10,即-71t1.答案:C2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则a的取值范围是A.|a|<1B.a<131C.|a|<51D.|a|<131解析:点P在圆(x-1)2+y2=1内部(5a+1-1)2+(12a)2<1|a|<131.答案:D3.已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时,圆必过原点B.当a=r时,圆与y轴相切C.当b=r时,圆与x轴相切D.当br时,圆与x轴相交解析:已知圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,当br时,圆心到x轴的距离为|b|,只有当|b|r时,才有圆与x轴相交,而br不能保证|b|r,故D是错误的.故选D.答案:D4.(2005年北京海淀区期末练习)将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆(x+1)2+(y-2)2=1,则a的坐标为____________.解析:由向量平移公式即得a=(-1,2).答案:(-1,2)5.已知P(1,2)为圆x2+y2=9内一定点,过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C,则BC中点M的轨迹方程为____________.解析:Rt△OMC中,|MP|=21|BC|(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半).xyOBMCP故所求轨迹方程为x2+y2-x-2y-2=0.答案:x2+y2-x-2y-2=0[题型探究二]圆的方程的应用:【例1】(2003年春季北京)设A(-c,0)、B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹.剖析:给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一,其基本方法就是把几何条件代数化;主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质,即用代数的方法研究几何问题.解:设动点P的坐标为(x,y),由||||PBPA=a(a0)得2222)()(ycxycx=a,化简,得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.当a=1时,方程化为x=0.当a≠1时,方程化为(x-1122aac)2+y2=(122aac)2.所以当a=1时,点P的轨迹为y轴;当a≠1时,点P的轨迹是以点(1122aac,0)为圆心,|122aac|为半径的圆.评述:本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识,考查运用解析几何的方法解决问题的能力,对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为27,求此圆的方程.剖析:利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解:因圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为27,则有(2|3|bb)2+(7)2=9b2,解得b=±1.故所求圆方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.评述:在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程;(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F;(3)待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】已知⊙O的半径为3,直线l与⊙O相切,一动圆与l相切,并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径,求动圆圆心的轨迹方程.剖析:问题中的几何性质十分突出,切线、直径、垂直、圆心,如何利用这些几何性质呢?解:取过O点且与l平行的直线为x轴,过O点且垂直于l的直线为y轴,建立直角坐标系.设动圆圆心为M(x,y),⊙O与⊙M的公共弦为AB,⊙M与l切于点C,则|MA|=|MC|.ABCMOxyl∵AB为⊙O的直径,∴MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9,而|MC|=|y+3|,∴922yx=|y+3|.化简得x2=6y,这就是动圆圆心的轨迹方程.评述:求轨迹的步骤是“建系,设点,找关系式,除瑕点”.三、方法提升:1.不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定,因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组,解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤:(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标,通常选用一般方程;若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系,通常选用标准方程);(2)根据所给条件,列出关于D、E、F或a、b、r的方程组;(3)解方程组,求出D、E、F或a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中,得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题,应充分运用圆的几何性质帮助解题.四、反思感悟1.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有x、y项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时,一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标,一般用一般方程.3.在一般方程中,当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-2D,-2E),当D2+E2-4F0时,无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时,要充分利用圆的特殊几何性质,这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用,应熟练掌握.五、课时作业:1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形,则A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=0解析:曲线关于x+y=0成轴对称图形,即圆心在x+y=0上.答案:A2.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析:分别以A、B为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.答案:B3.圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称,则k=____________.解析:圆心(-21,3)在直线上,代入kx-y+4=0,得k=2.答案:24.设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x-4y-10=0的距离的最小值为____________.解析:圆心(0,0)到直线3x-4y-10=0的距离d=5|10|=2.再由d-r=2-1=1,知最小距离为1.答案:15.设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足OP·OQ=0.(1)求m的值;(2)求直线PQ的方程.解:(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m=-1.(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)0,得2-32b2+32.由韦达定理得x1+x2=-(4-b),x1·x2=2162bb.y1·y2=b2-b(x1+x2)+x1·x2=2162bb+4b.∵OP·OQ=0,∴x1x2+y1y2=0,即b2-6b+1+4b=0.解得b=1∈(2-32,2+32).∴所求的直线方程为y=-x+1.6.已知实数x、y满足x2+y2+2x-23y=0,求x+y的最小值.解:原方程为(x+1)2+(y-3)2=4表示一个圆的方程,可设其参数方程为x=-1+2cosθ,y=3+2sinθ22sin(θ+4π),当θ=4π5,即x=-1-2,y=3-2时,x+y的最小值为3-1-22.培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求(1)xy的最大值和最小值;(2)y-x的最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.解:(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆.xyOPC(2,0)(θ为参数,0≤θ2π),则x+y=3-1+2(sinθ+cosθ)=3-+1设xy=k,即y=kx,由圆心(2,0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由1|02|2kk=3,解得k2=3.所以kmax=3,kmin=-3.(也可由平面几何知识,有OC=2,OP=3,∠POC=60°,直线OP的倾斜角为60°,直线OP′的倾斜角为120°解之)(2)设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式,得2|02|b=3,即b=-2±6,故(y-x)min=-2-6.(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连结OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,则(x2+y2)max=|OC′|=2+3,(x2+y2)min=|OB|=2-3.8.(文)求过两点A(1,4)、B(3,2),且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1(2,3),M2(2,4)与圆的位置关系.解:根据圆的标准方程,只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A、B两点,所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB=3124=-1,AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.又圆心在直线y=0上,因此圆心坐标是方程组x-y+1=0,y=0半径r=22)40()11(=20,所以得所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=20.因为M1到圆心C(-1,0)的距离为22)03()12(=18,|M1C|r,所以M1
本文标题:东北师大附属中学高三一轮导学案:圆的方程【A】
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