全等三角形的判定课件总结

全等三角形（复习）1.全等三角形的性质:对应边、对应角、对应高、中线、角平分线等线段相等，周长、面积也相等。2.全等三角形的判定:知识点回顾①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS、HLSSSHLASAAAS两个三角形全等的判定方法SAS任意两角加一边对应相等两三角形全等典型例题分析：例1、如图所示，：已知AC=AD，请你添加一个条件————，使得△ABC≌△ABD思路已知两边找另一边(SSS)找夹角(SAS)隐含条件AB=ABBC=BD∠CAB=∠DAB变式1：如图，已知∠C=∠D，请你添加一个条件————，使得△ABC≌△ABD思路已知一边一角这边为角的对边找任一角(AAS)隐含条件AB=AB∠CAB=∠DAB或∠ABC=∠ABD变式2：如图，已知∠CAB=∠DAB，请你添加一个条件————，使得△ABC≌△ABD思路已知一边一角这边为角的邻边找夹角的另一边（SAS）找夹边的另一角（ASA）找边对的另一角（AAS）隐含条件AB=ABAC=AD∠C=∠D∠ABC=∠ABDADECB变式3、如图所示：已知∠B=∠C，请你添加一个条件————，使得△ABE≌△ACD思路已知两角找夹边（ASA）找对边（AAS）∠A为公共角AB=ACAE=AD或BE=DC例2.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：BC=DEABCDE12请同学们注意书写格式哦！ABCDE如图所示，已知AB=AC,BD=CD,点E在AD的延长线上，说明BE=CE的理由大显身手：例3.如图,有一湖的湖岸在A,B之间呈一段圆弧状,A,B间的距离不能直接测得,你能用已学过的知识或方法设计测量方案,求出A,B间的距离吗?AB.CDE题型展示•题型一挖掘“隐含条件”判定全等ADBC图（1）1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由。【解析】2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C=,BE=_____.BCODEA图（2）3.如图（3），若OB=OD，∠A=∠C，AB=3cm，则CD=.ADBCO图（3）题型二•4、如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，【解析】•根据“SAS”需要添加条件；•根据“ASA”需要添加条件；•根据“AAS”需要添加条件。添条件判定全等ABCDAB=AC∠ADB=ADC∠B=∠C题型三熟练转化“间接条件”判定全等5.如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△CEB全等吗？为什么？【解析】ADBCFEACEBD6.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？【解析】题型四生活中的实际应用⑴利用全等三角形配玻璃：某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（）•A．带①去B．带②去•C．带③去D．带①和②去③公共边、公共角以及对顶角一般都是题中隐含的条件。②分析已有条件，欠缺条件，选择判定方法。①观察结论中的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。3、全等是说明线段或角相等的重要方法之一。说明时注意以下三点：1、“量入图形”思想，即相关量在图形中标出2、结合题中条件和结论，选择恰当的判定方法。ABCDEA1B1C1CDE如图1，已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE(1)请说明△ABC≌△CDE,并判断AC是否垂直CE？（2）若将△ABC沿BC方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则A1C1是否垂直于CE？请说明为什么？图1图2拓展提高：17一、挖掘“隐含条件”判全等1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由ADBC图（1）2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C=,BE=.说说理由.BCODEA图（2）3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=.说说理由.ADBCO图（3）20°5cm3cm学习提示：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！184、如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，•根据“SAS”需要添加条件；•根据“ASA”需要添加条件；•根据“AAS”需要添加条件；ABCDAB=AC∠BDA=∠CDA∠B=∠C友情提示：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件,有些是图中隐含条件.二.添条件判全等19例、如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N，∠1=∠2，试说明：（1）△ABE≌△ACD（2）AM=ANANMEDCB12创造条件！？205、已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，现要证明△ABC≌△DEF，若要以“SAS”为依据，还缺条件______；若要以“ASA”为依据，还缺条件_______；若要以“AAS”为依据，还缺条件_______并说明理由。．AB=DE∠ACB=∠F∠A=∠DABCDEF217.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ACEBD解：∵∠CAE=∠BAD(已知)∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE(等量减等量，差相等)即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE∠BAC=∠DAE(已证)AC=AE(已知)∠B=∠D(已知)(AAS)228.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。解:连接AC∴△ADC≌△ABC(SSS)∴∠ABC=∠ADC(全等三角形的对应角相等)在△ABC和△ADC中，BC=DC(已知)AC=AC(公共边)AB=AD(已知)23一.挖掘“隐含条件”判全等二.添条件判全等三.转化“间接条件”判全等5.在下列说法中，正确的有()个.并说明判断的理由。①三角对应相等的两个三角形全等②三边对应相等的两个三角形全等③两角、一边对应相等的两个三角形全等④两边、一角对应相等的两个三角形全等A.1B.2C.3D.4B4分4分1.如图,已知△ABC和△DCB中,AB=DC,请补充一个条件,使△ABC≌△DCB.ABCD思路：找夹角找第三边已知两边:∠ABC=∠DCB(SAS)AC=DB(SSS)4分2.如图,已知∠C=∠D,要识别△ABC≌△ABD,需要添加的一个条件是.ACBD思路找任一角已知一边一角(边与角相对)(AAS)∠CAB=∠DAB或者∠CBA=∠DBA3.如图,已知∠1=∠2,要识别△ABC≌△CDA,需要添加的一个条件是.4分思路:已知一边一角(边与角相邻):ABCD21找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找边的对角AD=CB∠ACD=∠CAB∠D=∠B(SAS)(ASA)(AAS)4.如图,已知∠B=∠E,要识别△ABC≌△AED,需要添加的一个条件是.思路:已知两角:找夹边找一角的对边ACDEAB=AEAC=AD或DE=BC(ASA)(AAS)4分1.如图,已知直线AD,BC交于点E,且AE=BE,欲说明△AEC≌△BED，需增加的条件可以是______________________(只填一个即可).解:根据“SAS”,可添加CE=DE;根据“ASA”,可添加∠A=∠B;根据“AAS”,可添加∠C=∠D.故填CE=DE或∠A=∠B或∠C=∠D.4分2.如图,已知AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是_____________________（写出一个即可）.解：可补充的条件是：当AC=AE，△ABC≌△ADE（SAS）；当∠C=∠E，△ABC≌△ADE（AAS）；当∠B=∠D，△ABC≌△ADE（ASA）．故答案为：AC=AE或∠C=∠E或∠B=∠D．4分3.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是.解：添加的条件为BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D或AB//CD.PDCBA4分4.如图,沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=300,则AN=cm,NM=___cm,∠NAM=.ABCDMN753004分全等三角形问题中常见的辅助线的作法•常见辅助线的作法有以下几种：•遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。•遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。•遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。•过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。•截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例1:如图所示，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证:AC＝AB。证明：连结AP。因为∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA，所以△PDA≌△PE（HL）所以AD＝AE又因为∠CAE=∠BAD所以△ACE≌△ABD（ASA）所以AC＝AB例2：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BEEDBADC∵AD是△ABC的中线∴BD＝CD又∵DE＝AD∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB在△ABE中，AEAB+BE＝AB+AC即2ADAB+AC∴)(21ACABAD例3：如图所示，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC•思路1：延长AB到E，使BD=BE，证明△AED≌△ACD。•证明：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则∠E=∠BDE。•∴∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E•又∵∠ABC=2∠C，•∴∠C=∠E•∵∠AD平分∠BAC，•∴∠1=∠2，•又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC，•∴AC=AE。•即AC=AB+BE=AB+BD。•思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明△AED≌△ABD。例4：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.思路：利用全等变换中的“旋转”证明：延长CB到G，使BG=DF.由BG=DF，∠ABG=∠D=90°，AB=AD,得出△ADF≌△ABG（SAS）所以∠GAB=∠FAD,AG=AF.又因为BE+DF=EF，所以EF=EG.由EF=EG，AG=AF，AE=AE,得出△AEF≌△AEG（SSS）所以∠GAE=∠FAE因为∠BAF+∠FAD=∠BAF+∠GAB=∠GAF=90°，所以∠EAF=1/2∠GAF=45°FEDCBA角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用法：∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法：∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE二.角的平分线：1.角平分线的性质：2.角平分线的判定：定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).引入新知41一、挖掘“隐含条件”