大学物理--——————4章-周期性运动

第4章物体周期性运动§4.1简谐振动的动力学特征§4.2简谐振动的特征量§4.3简谐振动的合成振动是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象，称为振动。虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。本章主要讨论简谐振动和振动的合成，并简要介绍阻尼振动、受迫振动和共振现象以及非线性振动。简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。0cos()xAt——简谐振动的运动学定义x可以是位移、电流、场强、温度…§4.1简谐振动的动力学特征一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧——物体系统平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧——质量忽略不计，形变满足胡克定律物体——可看作质点简谐振动的判据kxOmxkxF受力22dtxdmkx微分方程2km令2220dxxdt其通解为：二、简谐振动的运动学方程0cos()xAt0222xdtxd简谐振动的微分方程——简谐振动的运动学方程00cos()sin()2tt20令sin()xAt200cos()cos()maAtat0cos()xAt00sin()cos()2mvAtvt三谐振动振子的速度和振动加速度toTavx...avxT/4T/4)2cos(tvvmx)2cos(tA)cos(taamx)cos(2tA由图可见：2av超前2vx超前xt+o·Amvma090090以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x0sin()vAt0cos()xAt212kEmv2201sin()2kAt212pEkx2201cos()2kAt谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四简谐振动的能量动能221mvEk)t(sinkA02221势能212pEkx)t(coskA02221情况同动能maxmin,,pppEEE0minkE2114tTkktEEdtkAT2max21kAEk机械能221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒由起始能量求振幅022EEAkk212EkAxtTEoEtEk(1/2)kA2Ep实际振动系统系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开222001()(0)2ppppxxdEdEExExxdxdx微振动系统一般可以当作谐振动处理00pdExdx，有22201()(0)2pppxdEExExdx()pdExFdx220pxdExdx()kx4.2简谐振动的特征量0cos()xAt一振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。0sin()dxvAtdt000vv,xx,t若已知初始条件00cosAx00sinvA2200()vAx——由初始条件和系统本身情况决定频率：单位时间内振动的次数。二周期、频率、圆频率对弹簧振子12T角频率——22TkmT2mk21mk固有周期、固有频率、固有角频率周期T：物体完成一次全振动所需时间。00cos()cos()AtAtT2T0是t=0时刻的位相——初位相三位相与位相差——位相，决定谐振动物体的运动状态0t0cos()xAt0sin()dxvAtdt22202cos()dxaAtxdt00cosxA00sinvA000tanvx——由初始条件和系统本身情况决定位相差——两振动位相之差。12当=2k,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相当=(2k+1),k=0,±1,±2...两振动步调相反,称反相0当2超前于1或1滞后于2位相差反映了两个振动不同程度的参差错落四、简谐振动的旋转矢量表示法0t=0Axt+0t=tA0cos()xAtox旋转矢量——确定和研究振动合成很方便xv00v000x0A/202xA00v0π3例如，已知x参考圆(circleofreference)0AA0t+oxtt=0x=Acos(t+)·3则由左图给出用旋转矢量表示相位关系x1A2Ax1A2Ax1A2A同相反相例：已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。431.431.715.715.01)(st)(1cmsv解：设振动方程为00sin15.7vA0cos()xAt00cos0xA31.4mAv0015.71sin31.42vA0566或06115.7tv1sin()62mvvAv711666或100,cos()0x则76613.14s31.4103.14mvAcm故振动方程为10cos()6xtcm一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动，其频率仍为22121220102cos()AAAAA112201122sinsintgcoscosAAAA1110()cos()xtAt2220()cos()xtAt合振动:1xxx0cos()xAt4.3简谐振动的合成22121220102cos()AAAAA112201122sinsintgcoscosAAAA1110()cos()xtAt2220()cos()xtAt用旋转矢量法讨论2200()vAx0cos()xAt1AA102002Ax2x1xx如A1=A2,则A=0,,,kk21021020两分振动相互加强21AAA,,,k)k(210121020两分振动相互减弱21AAA讨论若两分振动同相：若两分振动反相:22121220102cos()AAAAA合振动不是简谐振动式中21()2cos()2AtAt随t缓变21cos()cos()2tt随t快变合振动可看作振幅缓变的准简谐振动二、两个同方向不同频率简谐振动的合成拍分振动11cos()xAt22cos()xAt合振动11222cos()cos(2)2Atxt12xxx当2≈1时,()cos()xAtt则：1212拍——合振动忽强忽弱的现象拍频——单位时间内强弱变化的次数xtx2tx1t21拍212拍拍11222cos()cos(2)2Atxt*1、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成质点合振动的轨迹方程：222201020102212122cos()sin()xyxyAAAA分振动110cos()xAt220cos()yAt三相互垂直简谐振动的合成(1)20100212()0xyAA21AyxA合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线12AA斜率质点离开平衡位置的位移讨论yx222212cos()SxyAAt222201020102212122cos()sin()xyxyAAAA(2)2010212()0xyAA21AyxA合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线12AA斜率质点离开平衡位置的位移yx222212cos()SxyAAt222201020102212122cos()sin()xyxyAAAA(3)2010212212AyAx合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆110cos()xAt质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。yx110cos()2yAt222201020102212122cos()sin()xyxyAAAAyx(4)20102合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆110cos()xAt质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。110cos()2yAt222201020102212122cos()sin()xyxyAAAA=5/4=3/2=7/4=0==/2=3/4Q=/4P·.0时，逆时针方向转动。0时，顺时针方向转动。*2、垂直方向不同频率可看作两频率相等而Δ随t缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。yxA1A2o-A2-A1)()(xyxyt两分振动频率相差很小为整数比xymn合成轨迹为稳定的闭合曲线—李萨如图xxyyxy达到最大的次数达到最大的次数例如右图：32xyxy213132x=0：y=08πy4πy8π3y2πyyx0