倍长中线法(1)

小论倍长中线法及其应用本讲的主要内容•何为倍长中线法•倍长中线法的初步应用•倍长中线法的进阶应用•小结何为倍长中线法？•倍长中线法：将某个三角形的某条中线延长一倍，之后将新构造所得的端点与该三角形顶点连结，进而构造出一对全等三角形利用全等三角形的相关知识来证明所给的几何命题。•中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。•倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）。•倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。何为倍长中线法？FEDCBANDCBAMDABCEDABC主要思路：倍长中线（线段）造全等方法一：在△ABC中延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方法二：作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD倍长中线法的初步应用例题1：如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC边的中线。则2AD的取值范围是_________.解：不妨延长AD至E，使得DE=AD，连结B,E。则显然AE=2AD，又易证△ADC≌△EDB（SAS）。故AC=EB，在△ABE中，利用三边的不等关系，AB-BEAEAB+BE,可知22AD12.倍长中线法的初步应用例题2：已知△ABC中，AB＝4cm，BC＝6cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围。解：延长BD至E，使DE＝BD.连接CE.∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵∠BDA＝∠EDC，∴△BDA≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB.在△CBE中，BC－CE＜BE＜BC＋CE，∴2cm＜2BD＜10cm.∴1cm＜BD＜5cm倍长中线法的初步应用例题3：在△ABC,△A,B,C,中,AD、A,D,分别是BC、B,C,边的中线，AB=A,B,，AC=A,C,，AD=A,D,，请证明△ABC≌△A,B,C,。证明：分别延长AD至E、A,D,至E,使得DE=AD、D,E,=A,D,，连结B,E、B,,E,。可以证明：△ADC≌△EDB，△A,D,C,≌△E,D,B,（SAS）。故有BE=CA，B,E,=C,A,，∠1=∠E，∠2=∠E,。由于CA=C,A,，故BE=B,E,。进而可证明△ABE≌△A,B,E,（SSS），因此∠E=∠E,且∠BAD=∠B,A,D,故∠1=∠2，∠BAC=∠BAD+∠1=∠B,A,D,+∠2=∠B,A,C,。进而可证△ABC≌△A,B,C,（SAS）。倍长中线法的初步应用例题4：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD，∠BAD＝∠BDA.求证：AE＝1/2AC.解：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF.∵AE是△ABD的中线，∴BE＝DE.∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE(SAS)．∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.∵BA＝BD，∠BAD＝∠BDA，∴BD＝DF.∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD.∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即AE＝1/2AC倍长中线法的进阶应用例题5：如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点．求证：DE＝2AM.解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴BM＝CM.又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.又∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又AM＝MN，∴DE＝2AM倍长中线法的进阶应用例题6：如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB。求证：CE=2CD。证明：延长CD至点F，使DF=CD，连接B,F。则由△ADC≌△BDF，可得AC=BF，∠1=∠A，由AC=AB得∠ACB=∠2因为∠3=∠A+∠ACB，故∠3=∠CBF。再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD。小结实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过SAS的全等模型（“8”字型）构造全等三角形。之后便能将一些看似“分散”的条件聚集于同一个三角形中，从而将问题明晰。FBCAED练习1：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF.练习2：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.第1题图ABFDEC