同济材料力学-顾志荣-第六章--弯曲内力

材料力学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院顾志荣第六章弯曲内力材料力学插个小广告~~~~~~更多同济土木考研资料请联系QQ：1715333961第六章弯曲内力一平面弯曲的概念及梁的种类二梁的内力及其求法三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系五平面刚架与曲杆的内力图六关于内力图的进一步讨论第六章弯曲内力一平面弯曲的概念及梁的种类1、平面弯曲的概念讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围:（1）杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）对称轴对称轴对称轴对称轴第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类(2)载荷作用在对称平面内所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内(受力特点)。轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）(3)杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线(变形特点)。1、平面弯曲的概念第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类墙梁楼板ql2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类PaAB阳台梁栏杆PABPaMeq第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类上海长江大桥第53号至54号桥墩间，将架起“百米长梁”。这一箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。百米长梁超越东海大桥梁式大桥70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100公里。整个隧桥工程将在2010年完工。上海长江大桥架起世界第一梁3、梁的种类：静定梁——支座反力可由静力平衡方程确定的梁。（a）简支梁（b）悬臂梁（c）外伸梁（d）静定组合梁中间铰第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类超静定梁——支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。第六章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第六章弯曲内力二梁的内力及其求法x解：(1)、根据平衡条件求支座反力,LFbFAyLFaFBy(2)、截取m-m截面左段。AxAyFmmQFMQF剪力——使截面不产生移动,0yF由弯矩M——使截面不产生转动得到：LFbFFAyQoALBFabmmAyFByF1、梁的内力—剪力与弯矩,0oM由得到：xLFbxFMAy第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法2、剪力、弯矩的正、负号规定：Q（＋）QMM（－）符号规定左上右下，剪力为正左顺右逆，弯矩为正第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法例题一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力qaFBy30AMqaFAy0BMqAB212qaM222qaM4aaaCAyFByF3、求指定截面上的剪力和弯矩第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法2、求C截面（跨中截面）上的内力qA212qaMaCAyFQcF,0yF由得到：02QcAyFaqFcMaqFFAyQc2qaQF（剪力的实际方向与假设方向相反，为负剪力）,0CM由得到：0221MaqaaFMAyC122MaqaaFMAyC22qa（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法222qaM如以右侧梁作为研究对象，则：cMByQcFaqF2qa222MaqaaFMByC22qa为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。qBaCQcFByF第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法qAB212qaM222qaM4aaaCAyFByFaqFFAyQc2qa取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:ByQcFaqF2qa)(一侧yQFF截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法)(一侧oMM截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。122MaqaaFMAyC22qa222MaqaaFMByC22qaqAB212qaM222qaM4aaaCAyFByF取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法)(一侧yQFF截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。)(一侧oMM截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法解：1、根据平衡条件求支座反力0AMKNFAy3KNFBy70BM例题一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF2、求B、D截面上的内力?第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法解：1、根据平衡条件已求出支座反力KNFAy3KNFBy7例题一外伸梁受力如图所示。试求D左、D右、B左、B右截面上的内力。AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF2、求D左、D右、B左、B右截面上的内力?第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF截面：左D)(左侧左yQDFFAyFKN3)(左侧左DDMM1AyFmKN.3第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF截面：右D)(右侧右yQDFFAyFKN3)(右侧右DDMM831oAyMFmKN5第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法截面：左B)(左侧左yQBFF3qFAyKN3)(左侧左BBMM23340qMFAymKN.5AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法右B截面：与截面相比，该截面的内力只增加了约束反力，故有：左BByFByQBQBFFF左右KN4730ByBBFMM左右左BMmKN.5亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法4、小结(基本规律)（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。（2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FQ、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FQ、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法（3）梁内任一截面上的剪力FQ的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。（4）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。niiniiQFFF11)()(niiniiniiniiMMMMM1111)()()()(第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。(5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃“（突变），其跳跃的值就是这个集中力的大小；集中力偶作用的截面上弯矩有”跳跃”，其跳跃的值就是这个集中力偶的大小．第六章弯曲内力/二梁的内力及其求法第六章弯曲内力三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即)(),(xMMxFFQQ称为剪力方程和弯矩方程ABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF1剪力方程与弯矩方程第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图2内力与外力的相依关系某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDFByF因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点为各段梁的控制截面。所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。3控制截面的概念第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图xQFxM(+)(+)(-)(-)剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。注意：必须标明控制截面上的内力值4剪力图和弯矩图第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图例题悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的和及其所在截面位置。maxQFmaxMPm=PaACBaa取参考坐标系Axy。解：xy1、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段:0)(xFQ)0(axPamxM)()0(axx第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图BC段:Pm=PaACBaaxxPxFQ)()2(axa)()(axPmxM)2(axaPxPa22、作梁的剪力图和弯矩图-P图QFPa图M(+)(-)maxQFmaxM3、求和PFQmaxPaMmax（在BC段的各截面）（在AB段的各截面）第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图注意：1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（x的区间）即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。)(xFQ3、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图例题外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：xy1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力0AMqaFBy210BMqaFAy25AyFByF第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图2、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axAyFByFqaxFQ)(CA段:)0(axqaxxM)(x)()(axqFqaxFAyQAB段:)3(axaqxqa25x)(25)(axqaqaxxM2)(21axq)3(axa)0(ax第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图yABqF=qaCa2axAyFByF3、作梁的剪力图和弯矩图-qa图QF(-)qaaxFQ23)(qaaxFQ21)3(qa21qa23(-)(+)2qa(-)EaxE23)(25axaqaqadxdM0ax25281)25(qaaxM281qa(+))(xFQ第六章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图例1.简支梁AB受力如图，试作该梁的剪力图和弯矩图。yxaaapapACBDF