江苏省苏北七市2020届高三第二次调研数学考试

江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学试题2020．4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1．已知集合A＝{1，4}，B＝{a﹣5，7}．若A∩B＝{4}，则实数a的值是．2．若复数z满足2iiz=+，其中i是虚数单位，则z的模是．3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是吨．4．右图是一个算法流程图，则输出的S的值是．5．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是．6．在△ABC中，已知B＝2A，AC＝3BC，则A的值是．7．在等差数列{}na(nN∗∈)中，若124aaa=+，83a=−，则20a的值是．8．如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1，V2，则12VVV+的值是．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221xyab−=(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q．若△APQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是．10．在平面直角坐标系xOy中，点P在直线y＝2x上，过点P作圆C：(x﹣4)2＋y2＝8的一条切线，切点为T．若PT＝PO，则PC的长是．11．若x＞1，则91211xxx+++−的最小值是．12．在平面直角坐标系xOy中，曲线xye=在点P(0x，0xe)处的切线与x轴相交于点A，其中e为自然对数的底数．若点B(0x，0)，△PAB的面积为3，则0x的值是．13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME—7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则6778AAAA⋅������������的值是．14．设函数2log,04()(8),48xaxfxfxx⎧−≤⎪=⎨−⎪⎩，若存在实数m，使得关于x的方程()fxm=有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a�＝(cosα，sinα)，b�＝(cos(α＋4π)，sin(α＋4π))，其中0＜α＜2π．（1）求()baa−⋅���的值；（2）若c�＝(1，1)，且()bc+��∥a�，求α的值．16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证：（1）PQ∥平面ABC；（2）PQ⊥平面ABB1A1．17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x﹣3)2＋y2＝1，椭圆E：22221xyab+=(a＞b＞0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N．当AN＝127AM时，求直线l的方程．18．（本题满分16分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2：1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM（如图）．设AD＝x，DE＝1y，AM＝2y（单位：百米）．（1）分别求1y，2y关于x的函数关系式；（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．19．（本题满分16分）若函数()fx在0x处有极值，且00()fxx=，则称0x为函数()fx的“F点”．（1）设函数2()2lnfxkxx=−(k∈R)．①当k＝1时，求函数()fx的极值；②若函数()fx存在“F点”，求k的值；（2）已知函数32()gxaxbxcx=++(a，b，c∈R，a≠0)存在两个不相等的“F点”1x，2x，且12()()1gxgx−≥，求a的取值范围．20．（本题满分16分）在等比数列{}na中，已知11a=，418a=．设数列{}nb的前n项和为nS，且11b=−，112nnnabS−+=−(n≥2，nN∗∈)．（1）求数列{}na的通项公式；（2）证明：数列nnba⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（3）是否存在等差数列{}nc，使得对任意nN∗∈，都有nnnSca≤≤?若存在，求出所有符合题意的等差数列{}nc；若不存在，请说明理由．江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学附加题21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝010a⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵102A0b−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若曲线C1：2214xy+=在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线C2，求曲线C2的方程．B．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C的方程为rρ=(r＞0)，直线l的方程为cos()24πρθ+=．设直线l与曲线C相交于A，B两点，且AB＝27，求r的值．C．选修4—5：不等式选讲已知实数x，y，z满足2222222111xyzxyz++=+++，证明：2222111xyzxyz++≤+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）我们称n(nN∗∈)元有序实数组(1x，2x，…，nx)为n维向量，1niix=∑为该向量的范数．已知n维向量a�＝(1x，2x，…，nx)，其中ix∈{﹣1，0，1}，i＝1，2，…，n．记范数为奇数的n维向量a�的个数为An，这An个向量的范数之和为Bn．（1）求A2和B2的值；（2）当n为偶数时，求An，Bn（用n表示）．