普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 83届

1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共九道大题，满分120分）一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的奎屯王新敞新疆把正确结论的代号写在题后的圆括号内奎屯王新敞新疆每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分奎屯王新敞新疆1．两条异面直线，指的是（D）（A）在空间内不相交的两条直线奎屯王新敞新疆（B）分别位于两个不同平面内的两条直线奎屯王新敞新疆（C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线奎屯王新敞新疆（D）不在同一平面内的两条直线奎屯王新敞新疆2．方程x2-y2=0表示的图形是（A）（A）两条相交直线（B）两条平行直线（C）两条重合直线（D）一个点3．三个数a,b,c不全为零的充要条件是（D）（A）a,b,c都不是零（B）a,b,c中最多有一个是零（C）a,b,c中只有一个是零（D）a,b,c中至少有一个不是零4．设,34则)arccos(cos的值是（C）（A）34（B）32（C）32（D）35．3.0222,3.0log,3.0这三个数之间的大小顺序是（C）（A）3.0log23.023.02（B）3.02223.0log3.0（C）3.02223.03.0log（D）23.023.023.0log二．（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,xyyx的图形，并写出它们交点的坐标奎屯王新敞新疆2．在极坐标系内，方程cos5表示什么曲线？画出它的图形奎屯王新敞新疆解：1.图形如左图所示奎屯王新敞新疆交点坐标是：O（0，0），P（1，-1）2．曲线名称是：圆奎屯王新敞新疆图形如右所示奎屯王新敞新疆三．（本题满分12分）1．已知xeyx2sin，求微分dy奎屯王新敞新疆2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学奎屯王新敞新疆要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法奎屯王新敞新疆解：1.dxxexedxxedyxxx]2sin)()2(sin[)2sin(.)2sin2cos2()2sin2cos2(dxxxedxxexexxx2．)(1003416242614种CCCCC或：)(1002012036310种CC四．（本题满分12分）计算行列式（要求结果最简）：Y211OXPOX(,0)cos2cossinsin)sin(coscos)cos(sin25解：把第一列乘以sin加到第2列上，再把第三列乘以)cos(加到第2列上，得0cos0sinsin0coscos0sincos2cos2cossinsin)sin()sin(coscos)cos()cos(sin原式五．（本题满分15分）1．证明：对于任意实数t，复数ittz|sin||cos|的模||zr适合42r奎屯王新敞新疆2．当实数t取什么值时，复数ittz|sin||cos|的幅角主值适合40？1．证：复数ittz|sin||cos|（其中t是实数）的模||zr为.|sin||cos|)|sin|()|cos|(22ttttr要证对任意实数t，有42r，只要证对任意实数t，2|sin||cos|tt成立奎屯王新敞新疆对任意实数t，因为1|sin||cos|22tt，所以可令|,sin|sin|,cos|costt且)2,0(，于是.2)4sin(2sincos|sin||cos|tt2．因为复数ittz|sin||cos|的实部与虚部都是非负数，所以z的幅角主值一定适合20奎屯王新敞新疆从而.1040tg显然0||zr奎屯王新敞新疆因为.111||010,|||cos||sin|tgttgtgtgttttg所以由于).(4411,,22为任意整数的解是因此并且它的周期是内是增函数在kktktgtttgty这就是所求的实数t的取值范围奎屯王新敞新疆六．（本题满分15分）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC，求证SC垂直于截面MAB奎屯王新敞新疆证：因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂线定理）连结DM奎屯王新敞新疆因为AB⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所决定的平面奎屯王新敞新疆又因DM在这个平面内，所以AB⊥DM奎屯王新敞新疆∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC奎屯王新敞新疆在△MDC和△NSC中，因为∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900奎屯王新敞新疆从而DM⊥SC奎屯王新敞新疆从AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB奎屯王新敞新疆七．（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=24，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N奎屯王新敞新疆设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？SMPCANDB解一：以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系奎屯王新敞新疆由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=22，短半轴b=1，离心率e=322，中心到准线距离=429,焦点到准线距离p=42.椭圆的极坐标方程为cos2231cos1eep.2cos896||,cos2231||.cos2231||2212211MNNFMF解得.656.22cos或以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当6或65时，|MN|等于短轴的长奎屯王新敞新疆解二：以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为.1922yxMN所在直线方程为)()22(tgkxky其中解方程组)22(1922xkyyx消去y得0)18(9236)91(2222kxkxk.YMαA1F1OF2AXN22222222222122191669166)91()1(36)1(36)()(||tgtgkkkkkkyyxxMN下同解法一奎屯王新敞新疆解三：建立坐标系得椭圆如解二，MN所在直线的参数方程为)(sincos22是参数ttytx代入椭圆方程得.01)cos24()sin9(cos222tt设t1,t2是方程两根，则由韦达定理，.sin9cos64)(||||.sin9cos1,sin9coscos2422212212122212221ttttttMNtttt下同解一奎屯王新敞新疆解四：设|F1M|=x,则|F2M|=6-x奎屯王新敞新疆|F1F2|=24，∠F2F1M=α在△MF1F2中由余弦定理得013cos22,cos28)24()6(222xxxxxcos2231x同理，设|F1N|=y，则|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得.cos896cos2231cos2231||,cos2231,1cos223).cos(28)24()6(2222MNyyyyyy下同解一奎屯王新敞新疆八．（本题满分16分）已知数列{an}的首项a1=b(b≠0），它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1）奎屯王新敞新疆1．证明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}从第二项起）是一个等比数列奎屯王新敞新疆2．设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求nnWlim（用b,p表示）奎屯王新敞新疆1．证：由已知条件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）奎屯王新敞新疆因为当n≥2时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)从而),2()1()1(211nppbppbpaannnn因此a2,a3,a3,…an,…是一个公比为p的等比数列奎屯王新敞新疆2．解：当n≥2时，,)1()1(212111pbppbpbppbpSaSannnnnnnn且由已知条件可知p21，因此数列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比为p21的无穷等比数列奎屯王新敞新疆于是.11)1(1)(lim2222223322ppbpppbpSaSaSaSannn从而)(limlim)(limlim332211332211nnnnnnnnnSaSaSaSaSaSaSaSaW.11222pbppbb九．（本题满分12分）1．已知a,b为实数，并且eab，其中e是自然对数的底，证明abba.2.如果正实数a,b满足ab=ba.且a1，证明a=b奎屯王新敞新疆1．证：当eab时，要证abba，只要证blnaalnb,即只要证bbaalnln考虑函数)0(lnxxxy奎屯王新敞新疆因为但ex时，,0ln12xxy所以函数),(lnexxy在内是减函数奎屯王新敞新疆因为eab，所以bbaalnln，即得abba奎屯王新敞新疆2．证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而bbaalnln奎屯王新敞新疆考虑函数)0(lnxxxy，它的导数是.ln12xxy因为在（0，1）内0)(xf，所以f(x)在（0，1）内是增函数奎屯王新敞新疆由于0a1,b0,所以ab1,从而ba=ab1.由ba1及a0,可推出b1.由0a1,0b1,假如ba，则根据f(x)在（0，1）内是增函数，得)()(bfaf，即bbaalnln，从而abba这与ab=ba矛盾奎屯王新敞新疆所以a=b奎屯王新敞新疆证二：因为0a1，ab=ba，所以,loglogbaabaa即babalog奎屯王新敞新疆假如ab，则1ab，但因a1，根据对数函数的性质，得babbababaaaalog,log,1loglog这与从而矛盾奎屯王新敞新疆所以a不能小于b奎屯王新敞新疆假如ab，则1ab，而1logba，这也与babalog矛盾奎屯王新敞新疆所以a不能大于b奎屯王新敞新疆因此a=b奎屯王新敞新疆证三：假如ab，则可设ab，其中ε0奎屯王新敞新疆由于0a1,ε0,根据幂函数或指数函数的性质，得1a和1)1(aa，所以,)(,)1(,)1(aaaaaaaaaaaaaa即abba.这与ab=ba矛盾奎屯王新敞新疆所以a不能小于b奎屯王新敞新疆假如ba，则ba1，可设a=b+ε,其中ε0,同上可证得abba.这于ab=ba矛盾奎屯王新敞新疆所以a不能大于b奎屯王新敞新疆因此a=b奎屯王新敞新疆