普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案 82届

1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分8分）填表：函数使函数有意义的x的实数范围12xy{0}22)(xyR3xylg10(0,+∞）4xy10lgR解：见上表奎屯王新敞新疆二．（本题满分7分）求（-1+i)20展开式中第15项的数值;解：第15项T15=.38760)()1(6201461420CiC三．（本题满分7分）方程曲线名称图形1.4x2+y2=4椭圆yox2.x-3=0直线yox解：见上图奎屯王新敞新疆四．（本题满分10分）已知,1,2122yxyx求22yx的值奎屯王新敞新疆解：.47))((,27,47431)(,434112,412,41)(222222yxyxyxyxyxxyyxyxyx得即（注：三角换元法解亦可奎屯王新敞新疆）五．（本题满分10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）奎屯王新敞新疆已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？解：设长方形场地的宽为x，则长为L-3x，它的面积.12)6(33)3(222LLxLxxxLxy当宽6Lx时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为,2633LLLxL最大面积为.122L答：略奎屯王新敞新疆六．（本题满分12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，1．用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积;2．求A1B和B1C所成的角奎屯王新敞新疆解：1.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴△A1B1C1是棱锥B-A1B1C1的底，BB1是棱锥的高，△A1B1C1的面积=221a，截下部分体积=,,62131313321111aaaaCBABB正方体体积的面积剩余部分体积=.6561333aaa2.连结D1C和D1B1，∵，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴∠B1CD1即A1B与B1C所成的角，∵正方体各面上对角线的长度相等，即D1B1=B1C=D1C，∴△D1CB1是等边三角形奎屯王新敞新疆∴∠D1CB1=600，∴A1B与B1C成600的角奎屯王新敞新疆七．（本题满分12分）已知定点A，B且AB=2a，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线奎屯王新敞新疆解：选取AB所在直线为横轴，从A到B为正方向，以AB中点O为原点，过O作AB的垂线为纵轴，则A为（-a，0），B为（a，0），设P为（x,y)奎屯王新敞新疆D1C1A1B1DCABD1C1A1B1DCABBCDA//11.033103],)[(4)(.2)()(,1222222222222ayaxxyaxyaxyaxyaxPBPA因为x2,y2两项的系数相等，且缺xy项，所以轨迹的图形是圆奎屯王新敞新疆八．（本题满分16分）求3512431179ctgtgctgtg的值奎屯王新敞新疆解：九．（本题满分18分）如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a,∠AOB=θ(a≥b,θ是锐角）奎屯王新敞新疆作AB1⊥OB，B1A1∥BA;再作A1B2⊥OB，B2A2∥BA;如此无限连续作下去奎屯王新敞新疆设△ABB1，△A1B1B2，…的面积为S1，S2，…求无穷数列S1，S2，…的和奎屯王新敞新疆解：AB1=，BB1=cosba（对一切n≥1成立，此时视A0B0为AB）奎屯王新敞新疆∵△ABB1∽△A1B1B2∽△A2B2B3∽……，OA2B3A1B2AB1B454sin54sin454sin18sin18sin36cos2254sin18sin18sin54sin254sin218sin2)2727()99(927279ctgtgctgtgctgctgtgtg原式sinbcoscoscos,~~~),sin(sin2121111112211111abOBOAOBOAOBOBBABABOABOAOABbabBBABSnnnnnnnn.)cos(2sin)cos(1)cos(sin21!)(lim,,,,,1)cos(0,,.)cos(,)cos()(2213213212222111babaabbabqSSSSSSSSabbaabQabBABASSnnnnnnnn是无穷递缩等比数列数列是锐角即公比