普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 52年

1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1.因式分解x4–y4=？解：x4–y4=(x2+y2)(x+y)(x-y)奎屯王新敞新疆2.若lg2x=21lgx，问x=？解：2x=x21，x≠0，∴202X奎屯王新敞新疆3.若方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1,-1,21,则c=？解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）·21+21·1=1奎屯王新敞新疆4.若xx求,0472奎屯王新敞新疆解：两边平方，得：x2+7=16，∴3x5.解:原式=-24奎屯王新敞新疆6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？解：设两圆O1及O2之公共弦为AB奎屯王新敞新疆连结O1O2交AB于点C，则AB垂直平分O1O2奎屯王新敞新疆∴O1C=21O1O2=2（寸）奎屯王新敞新疆).(342),(3224222121寸寸ACABCOAOAC连结AO1，则△ACO1为直角三角形，AO1O2CB?1230543217.三角形ABC的面积是60平方寸，M是AB的中点，N是AC的中点，△AMN的面积是多少？解：∵MN∥BC，∴41ABCAMN22ANAM的面积的面积，△AMN的面积=41△ABC的面积=15（平方寸）奎屯王新敞新疆8.正十边形的一个内角是多少度？解：由公式,)2(180nn此处n=10奎屯王新敞新疆于是一个内角为：1449.祖冲之的圆周率π=？答：22/7，355/133奎屯王新敞新疆10.球的面积等于大圆面积的多少倍？解：球的面积4πR2为大圆面积πR2的4倍奎屯王新敞新疆11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？解：圆锥高h=4（尺），故此直圆锥的体积：V锥=31πR2h=12π（立方尺）12.正多面体有几种？其名称是什么？答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体奎屯王新敞新疆13.已知sinθ=31,求cos2θ=？解：cos2θ=1-2sin2θ=97奎屯王新敞新疆14.方程tg2x=1的通解x=？解：).(82为整数kkx15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？解：塔高=5×tg300=335（寸）16．△ABC的b边为3寸，c边为4寸，A角为300，问△ABC的面积为多少平方寸？解：).(330sin4321sin21平方寸的面积AbcABC17.已知一直线经过（2，3），其斜率为-1，则此直线方程如何？解：即x+y–5=018.若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？解：圆的半径.54322R所以，圆的方程为：(x-3)2+(y-4)2=25，也即：x2+y2-6x-8y=0奎屯王新敞新疆19.原点至3x+4y+1=0的距离是什么？解：.51431040322d20.抛物线y2-8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？解：原方程可变形为：(y+3)2=8(x-1),故顶点坐标为（1，-3）奎屯王新敞新疆第二部分：1.解方程x4+5x3-7x2-8x-12=0奎屯王新敞新疆解：左式=(x4+5x3-6x2）-（x2+8x+12）=(x+6)[x2(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x3-x2-x-2)=(x+6)[(x3-2x2)+(x2-x-2)]=(x+6)(x-2)(x2+x+1)=0可得原方程的四根为：.231,231,2,64321ixixxx2.△ABC中，∠A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P，求证：BP=CP奎屯王新敞新疆证：如图，∠CBP=∠CAP=∠PAD奎屯王新敞新疆又∠1=∠2奎屯王新敞新疆由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP=∠BCP+∠CBP奎屯王新敞新疆∴∠BCP=∠CBP，∴BP=CP奎屯王新敞新疆3.设三角形的边长为a=4，b=5，c=6，其对角依次为A，B，C求ABCCsin,sin,sin,cos.问A，B，C三角为锐角或钝角？解：应用余弦定理，可得：.812cos222abcbaC由此可知C为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式a＜b＜c，从而可知∠A＜∠B＜∠C奎屯王新敞新疆由于C为锐角，故A，B亦为锐角奎屯王新敞新疆.741casinCsinA.7165sinsin,.783)81(-1sinCcos-1sinC22cCbBC可得应用正弦定理可得由C1P2DAB4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点奎屯王新敞新疆解：由于椭圆过（2，3）及（-1，4）两点，所以将此两点代入标准方程可得：.75522,35522,355,755,1161194222222abbababa短轴长轴解之.2155221220,22222abcabc又).21552,0(),21552,0(21FF故焦点坐标为