普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 59版

1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35奎屯王新敞新疆解：原式=2lg10lg7lg2107lg270lg=0.8451+1-0.3010=1.5441.乙、求ii1)1(3的值.解：.21)1(21221331133132iiiiiiiiiii原式丙、解不等式.3522xx解：原式移项得,03522xx∴原不等式的解为.321x丁、求165cos的值奎屯王新敞新疆解：)3045cos(15cos)15180cos(165cos.426)21222322()30sin45sin30cos45(cos戊、不在同一平面的三条直线cba,,互相平行，A、B为b上两定点，求证另两顶点分别在ca及上的四面体体积为定值奎屯王新敞新疆证：因为A、B为直线b上两定点，而直线b∥直线c，所以，不论点C在直线c的什么位置上，△ABC的面积均为一定值（同底等高的三角形等积）奎屯王新敞新疆又DahABbOcC因直线a平行于直线cb,，所以，直线a∥平面（已知cba,,不在同一平面内），因此，不论点D在直线a的什么位置上，从点D到平面的距离h为一定值，故四面体ABCD的体积=定值高底面积hSABC3131己、圆台上底面积为225cm，下底直径为cm20，母线为cm10，求圆台的侧面积奎屯王新敞新疆解：设此圆台上底半径为r，下底半径为R，由已知条件,252r所以r=5(cm).又下底半径R=10cm，母线,10cml圆台侧面积=πl（R+r)=π·10·（10+5）=150π（cm2).2．已知△ABC中，∠B=600，AC=4，面积为3，求AB和BC.解：设AB=c，BC=a，则有),(60cos24)(360sin21222余弦定理两边夹角求面积公式accaac.37,37.32,12)(,72,28)(,,1642222cacacacacaaccaac由由解之即故所求AB，BC之长为.37,37;37,37BCABBCAB3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数奎屯王新敞新疆解：设所求之三数为daada,,则根据题意有.45;1,45:4454).)(()2(),(2])[(3221122dadadadadadaadaada解得化简后得故所求三数为.9,5,149,45,41或4．已知圆O的两弦AB和CD延长相交于E，过E点引EF∥CB交AD的延长线于F，过F点作圆O的切线FG，求证：EF=FG.证：∵FG为⊙O的切线，而FDA为⊙O的割线，∴FG2=FD·FA…………①又∵EF∥CB，∴∠1=∠2.而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE为公共角∴△EFD∽△AFE，,FAEFEFFD即EF2=FD·FA…………②由①，②可得EF2=FG2∴EF=FG.5．已知A、B、C为直线l上三点，且AB=BC=a;P为l外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求（1）∠PBA的正弦、余弦、正切;（2）PB的长;（3）P点到l的距离.CG2FOD1A3EB解：过P点作PD⊥AB交AB于点D（如图）（1）过点B作BE∥AP交PC于点E则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE.∵△CPA∽△CEB∴,22aaBEPA因PB=BE，∴.2,2PBAtgPBPA又∵,sec122PBAPBAtg∠PBA为锐角，∴,51sec2PBAtgPBA.552cossin,5551cosPBAPBAtgPBAPBA（2）.55cosaPBAABPB（3）,552sin,55PBAaPB∴.52sinaPBAPBPD综上，所求为（1）∠PBA的正弦、余弦、正切分别是2,551,552（2）PB的长为;551a（3）P点到l的距离为.52aP450EAaDBaC