普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案 60版

1960年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、解方程.075522xx（限定在实数范围内）解：移项得75522xx两边平方得,75522xx整理得.2,21,0252212xxxx得乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.解：共需比赛8552526CC（场）丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.解：设等比数列的首项为)0(aa，公比为)0(qq，即,,,2aqaqa分别取此等比数列各项的对数，即,lg2lg,lglg,lgqaqaa这就形成首项是,lga公差是qlg的等差数列丁、求使等式2cos2sin12xx成立的x值的范围（x是00~7200的角）.解：要使等式2cos2sin12xx成立，必须,02cosx由此可得角2x在第一象限或第四象限而已知条件中限定x为00~7200的角，由此可得36022709020xx或.7205401800xx或戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD是9mm，求这小孔的直径AB的长奎屯王新敞新疆解：联结OA则OA=OC=6（mm)OD=CD-OC=9-6=3(mm）又)(3393622mmODAOAD).(362mmADAB己、四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形，PA与底面垂直，已知PA=3cm，P到BC的距离是5cm，求PC的长奎屯王新敞新疆解：∵ABCD是正方形，而且PA⊥平面ABCD，∴PB⊥BC（三垂线定理）在直角△PAB中)(4352222cmPAPBAB在直角△PBC中).(41452222cmBCPBPC2．有一直圆柱高是20cm，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm3，求这长方体底面的长与宽.COABDPADBC解：设长方体底面的长是xcm，宽是ycm.根据题意可得方程组，).(52),(5410040)52(8002022222cmycmxyxxyyxxy解得即3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）奎屯王新敞新疆解：由题意，船位于点O，看到灯塔A，半小时后船沿OB方向行至B，由于A在B的正西，所以延长BA交OC于C，且必有BC⊥OC奎屯王新敞新疆∵∠OBC=∠BOC=450，∴OC=BC=OB·sin450=15×22CA=OC·tg300=15×22×23=265（里）∴AB=CB-CA=5.4)33(2252652215（里）故这时船与灯塔的距离约为4.5里奎屯王新敞新疆4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米（1）求以矩形的一边长x表示窗户的面积y的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x的允许值范围奎屯王新敞新疆解：（1）因为矩形周长为6米，所以若设其长为x米，则其宽为O东450300CAB南3-x奎屯王新敞新疆∴窗户的面积y=x(3-x)=-x2+3x.（2）由y=-x2+3x，可得49)23(2xy故其顶点坐标为),49,23(对称轴方程为.23x（3）令x2-3x=0，∴x1=0,x2=3.故图象与x轴相交于点（0，0），（3，0），其图象如图根据问题的实际意义，必须y0，所以x的允许值范围为:0x3.5．甲、已知方程0cos3sin422xx的两个根相等，且为锐角，求和这个方程的两个根奎屯王新敞新疆解：由题设，方程的两个根相等，故其判别式.60,).(2cos21cos,02cos3cos2,0cos24)cos1(16,0cos24sin16,0cos324)sin4(422222为锐角由已知舍或解之得acb由此，原方程化为.23,0233222xxx其相等的二根为Y（49,23）OX乙、a为何值时，下列方程组的解是正数？8442yxayx解：消去x，得,12)8(ya.8816,812aaxay于是可得欲使其解x,y均为正数，必须.8,2.08,0816,0812,08816aaaaaaa即必须故当2a时，方程组的解均为正数奎屯王新敞新疆