中考数学复习专题-几何最值问题解题策略

专题九几何最值问题解题策略第二部分考情搜索-2-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练考情搜索最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题.安徽中考在2015,2016年连续2年都出现几何问题的最值问题,考生得分率普遍不高,在复习时应引起关注,预计2017年安徽中考会出现几何最值问题的选择题或解答题.第二部分考情搜索-3-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练专题归纳1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来求解即可.2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.第二部分考情搜索-4-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练典例精析题型2题型1题型3题型1三角形中最值问题典例1(2016·江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.第二部分考情搜索-5-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练典例精析题型2题型1题型3【解析】本题考查与三角形有关的折叠的计算.由于FP的长度是不变的,于是P点在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动,由此可确定点P在什么位置时到边AB的距离最小.如图,当点E在BC上运动时,PF的长固定不变,即PF=CF=2.∴点P在以点F为圆心,以2为半径的圆上运动.过点F作FH⊥AB交☉F于P,垂足为H,此时PH最短,此时△AFH∽△ABC,∴.【答案】第二部分考情搜索-6-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练典例精析题型2题型1题型3题型2四边形中最值问题典例2(2016·江苏常州)如图,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是.第二部分考情搜索-7-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练典例精析题型2题型1题型3【解析】本题考查等边三角形的性质、不等式、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识,根据题意建立不等式、转化不等式是解答此题的关键.△APB中,因为AB=2,∠APB=90°,所以AP2+PB2=AB2=4,因为(AP-PB)2≥0,所以AP2+PB2≥2AP·PB,所以2AP·PB≤4,AP·PB≤2,因为△ABD,△APE和△BPC都是等边三角形,所以AP=PE=AE,PB=PC=BC,AB=AD=BD,所以PE·PC≤2,又∠EAP=∠DAB=60°,所以∠EAD=∠PAB,又AP=AE,AD=AB,所以△EAD≌△PAB,所以ED=PB,又PB=PC,所以ED=PC,同理EP=DC,所以四边形PCDE是平行四边形,所以EP∥DC,因为∠EPA=∠CPB=60°,∠APB=90°,所以∠EPC=360°-∠EPA-∠CPB-∠APB=150°,因为EP∥DC,∠DCP+∠EPC=180°,所以∠DCP=180°-∠EPC=30°,过点P作PQ⊥DC于点Q,因为∠PQC=90°,所以PQ==1,所以四边形PCDE面积的最大值是1.【答案】1第二部分考情搜索-8-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练典例精析题型2题型1题型3【方法归纳】本题借助不等式“a2+b2≥2ab”通过代换转化来求平行四边形面积的最值,体现了转化思想和整体思想的运用.第二部分考情搜索-9-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练典例精析题型2题型1题型3题型3圆中最值问题典例3在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【解析】本题考查解直角三角形与勾股定理等知识.(1)连接OQ,在Rt△OPB中求出OP的长,在Rt△OPQ中求出PQ的长即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的长为定值,则OP最小时,PQ最大,此时OP⊥BC,即可求解.第二部分考情搜索-10-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练典例精析题型2题型1题型3【答案】(1)连接OQ,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△BOP中,OP=OB·tan30°=,在Rt△OPQ中,PQ=.第二部分考情搜索-11-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练典例精析题型2题型1题型3(2)解法1:过点O作OG⊥BC于点G,则OG=,设PG=x,则OP2=x2+,连接OQ,则PQ2=OQ2-OP2=32--x2,当x=0时,PQ最大=.解法2:连接OQ,设OP=x,则PQ2=OQ2-OP2=32-x2=9-x2,当x=.第二部分考情搜索-12-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练典例精析题型2题型1题型3【归纳总结】此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广,与初中数学很多内容有关,如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等.考查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等,有一定的灵活性,考生不易拿满分.第二部分考情搜索-13-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练21345671.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为(C)【解析】设BE与AC交于点P',连接BD,P'D.∵点B与D关于AC对称,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,当点P位于点P'处时,PD+PE最小.∵正方形ABCD的面积为16,∴AB=4,又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值为4.A.2B.3C.4D.4第二部分考情搜索-14-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练21345672.如图,直线l与半径为4的☉O相切于点A,P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,连接PA.设PA=x,PB=y,则(x-y)的最大值是2.【解析】如图,作直径AC,连接CP,则∠CPA=90°,∵AB是切线,∴CA⊥AB,∵PB⊥l,∴AC∥PB,∴∠CAP=∠APB,∴△APC∽△PBA,第二部分考情搜索-15-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练21345673.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为1.【解析】本题考查抛物线性质和矩形性质.由抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1得抛物线的顶点坐标为(1,1),∵四边形ABCD是矩形,∴BD=AC,∴当BD最小时AC最小.∵点A在抛物线y=x2-2x+2上,∴当点A是抛物线的最低点,即点A的坐标为(1,1)时,AC最小为1,∴BD的最小值为1.第二部分考情搜索-16-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练21345674.(2016·江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,4),直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,点M是直线AB上的一个动点,则PM长的最小值为.【解析】本题考查直角坐标系中垂线段最短的问题.当PM⊥AB时,PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB.对于直线y=第二部分考情搜索-17-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练21345675.(2016·武汉)如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=1,ON=3,点P,Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是.【解析】如图,作点M关于ON的对称点M‘,点N关于OA的对称点N’,连接M‘N’分别交ON,OA于点P,Q,此时MP+PQ+QN的值最小.由对称性质知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.连接ON‘,OM’,则∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M'N'=.第二部分考情搜索-18-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练21345676.如图,以点P(2,0)为圆心,为半径作圆,点M(a,b)是☉P上的一点,则的最大值是.【解析】当.第二部分考情搜索-19-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练21345677.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是AB,AC的中点.若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于,线段CE1的长等于.(直接填写结果)(2)如图2,当α=135°时,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1.(3)①设BC的中点为M,则线段PM的长为;②点P到AB所在直线的距离的最大值为.第二部分考情搜索-20-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练2134567解:(1)∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点,∴AE=AD=2,∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0α≤180°),∴当α=90°时,AE1=2,∠E1AE=90°,∴BD1=.第二部分考情搜索-21-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练2134567(2)当α=135°时,∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到,∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°,在△D1AB和△E1AC中,∴△D1AB≌△E1AC(SAS),∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA,记直线BD1与AC交于点F,∴∠BFA=∠CFP,∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.∵第二部分考情搜索-22-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练2134567(3)①如图①,∵∠CPB=∠CAB=90°,BC的中点为M,∴PM=BC,∴PM=.第二部分考情搜索-23-专题归纳典例精析专题九几何最值问题解题策略针对训练针对训练2134567②如图②,作PG⊥AB,交AB所在直线于点G,∵D1,E1在以A为圆心,AD为半径的圆上,当BD1所在直线与☉A相切时,直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大,此时四边形AD1PE1是正方形,PD1=2,则BD1=,故∠ABP=30°,则PB=2+2,故点P到AB所在直线的距离的最大值为:PG=1+.