对数平均不等式的应用

对数平均不等式的应用★基本不等式链：已知2220,0,1122ababababab（当且仅当ab取等号），即：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数，简记为：调几算方。★对数平均不等式：对于正数,ab，且ab，定义lnlnabab为,ab的对数平均值，且若2220,11lnln22ababababbabaabab，即：调和平均数几何平均数对数平均数算术平均数平方平均数，简记为：调几对算方。证法1（比值代换）令1atb，则(1)(1)lnln2ln2ababbtbtabbtabt112(1)1lnln21ttttttttt，构造函数可证．证法2（主元法）不妨设ab，lnlnlnln0lnlnabababababababbaba，记()lnlnabfaabba，(,)ab，则211()()0222babfaaabaaaab，得()fa在(,)b上单调递减，有()()0fafb，左边得证，右边同理可证．证法3（构造函数法）先证：lnlnababab要证lnlnababab，只需证lnlnlnabaababbbaab，令1axb，只需证12ln,1xxxx,设1()2ln,1fxxxxx，则22221(1)'()10xfxxxx，可得()fx在(1,)上单调递减，1()(1)02lnfxfxxx。再证：lnln2ababab要证lnln2ababab，只需证1lnlnln221aaababbbaabb，令1axb，只需证1ln12xxx，2ln1,112xxx。设2ln()1,112xgxxx，则2221(1)'()0(1)22(1)xgxxxxx，故()gx在(1,)上单调递减，2ln()(1)0,112xgxgx。★常见等价变形：2()lnln(0)abababab;lnln(0)abababba【题型1】证明极值点偏移问题【例1】已知函数()exfxx，如果12xx，且12()()fxfx，证明：122xx．【证明】12()()fxfx即1212xxxexe，1122lnlnxxxx，则12121lnlnxxxx（正数12,xx的对数平均数为1），于是121212xxxx，得121xx，且122xx．【总结】用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤：⑴根据12()()fxfx建立等量关系；⑵等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；⑶通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用1x，2x表示），代入对数平均不等式求解．【例2】已知函数()lnfxxx的图像与直线ym交于不同的两点11(,)Axy，22(,)Bxy，求证：1221xxe．【证明】由1122lnlnxxxxm得1122lnlnmxxmxx，1212121212lnlnlnlnlnlnlnlnmmxxxxmxxxxxx；12121212(lnln)lnlnlnlnmxxmmxxxxxx，由对数平均不等式得12121212(lnln),(0,ln0,ln0)lnln2lnlnmxxmmxxxxxx，12122lnlnln()xxxx，得1221xxe．【例3】已知函数()lnfxx和()gxax，若存在两个实数12,xx且12xx，满足11()(),fxgx22()()fxgx，求证：122xxa【证明】由1122lnlnxaxxax得1212110lnlnxxaxxae，则1212xxa，得1222xxae；2121212122lnln2()2xxexxaxxxxa。【例4】已知函数()xfxeax有两个零点12xx，则下列说法错误的是.Aae12.2Bxx12.1Cxx.D有极小值点0x，且1202xxx【解析】函数()fx导函数：'()xfxea，有极值点lnxa，而极值(ln)ln0faaaa，ae，A正确；()fx有两个零点：110xeax，220xeax，即：11lnlnxax①，22lnlnxax②①-②得：1212lnlnxxxx，根据对数平均值不等式：1212121212lnlnxxxxxxxx122xx，而121xx，121xx，B正确，C错误，而①+②得：12122lnln2lnxxaxxa，即D成立。【例5】设函数2()ln(2)fxxaxax的两个零点是12,xx，求证：1202xxf．【证明】由题意得21112222ln(2)0ln(2)0xaxaxxaxax，两式相减得12121212lnln()()(2)()0xxaxxxxaxx，121212lnln()()2xxxxaxxa，则12121210lnln()2xxxxaxxa，所以2121212121()(2)()20()12xxaxxaxxaxxa121212122()2(1)002xxaxxxxxxfa．【例6】设函数2()ln(2)fxxaxax的两个零点是12,xx，求证：1202xxf【思路分析】212(2)1'()22axaxfxaxaxx⑴当0a时，'()0fx在(0,)上恒成立;⑵当0a时，22(2)1(1)(21)'()axaxaxxfxxx，令1'()02fxx或1xa，易知()fx在1(0,)a单调递增，在1(,)a单调递减，12121022xxxxfa。【证明】2111121212122222ln(2)0lnln()()(2)()0ln(2)0xaxaxxxaxxxxaxxxaxax12121212121212121212122121212121212lnln()()(2)()()()(2)110lnln()2()122()(2)()20()2(1)002xxaxxxxaxxxxaxxaxxxxxxaxxaaxxaxxaxxaxxaxxxxxxfa【例7】设函数()xfxeaxa，其图像与x轴交于12(,0),(,0)AxBx两点，且12xx，证明：12'()0fxx。【思路分析】'(),xfxea当0a时，'()0fx恒成立，不合题;当0a时，令'()0lnxfxeaxa，令'()0lnxfxeaxa，()yfx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增，1212'()0lnfxxxxa。【证明】()0fx即2(1)()xeaxae，lnln(1)xax，则1122lnln(1)lnln(1)xaxxax①②①－②得121212(1)(1)ln(1)ln(1)xxxxxx，则1212(1)(1)1ln(1)ln(1)xxxx（正数121,1xx的对数平均数为1），于是，1212(1)(1)(1)(1)12xxxx，得1212(1)(1)14xxxx①＋②得12122lnln(1)(1)2lnxxaxxa，所以1212ln2xxxxa，由此可得12()0fxx．【题型2】(0)lnlnbabaaba的应用【例8】设函数()ln(1),()()fxxgxxfx，其中()fx是()fx的导函数,设nN，比较(1)(2)()gggn与()nfn的大小，并加以证明．【解析】因为()1xgxx，所以12111(1)(2)()231231ngggnnnn，而()ln(1)nfnnn，因此，比较(1)(2)()gggn与()nfn的大小，即只需比较113121n与ln(1)n的大小即可.根据0ba时，lnlnbabba--，即1()lnln,babab--令,1anbn==+,则1ln(1)ln1nnn+-+,所以111ln2ln1ln2,ln3ln2,,ln(1)ln231nnn，将以上各不等式左右两边相加得：111ln(1)231nn，故(1)(2)()()gggnnfn.【说明】本题是高考试题的压轴题，难度较大，我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握.当0ba时，lnlnbaaba--，即1lnln()babaa--,令,1anbn==+，则1ln(1)ln,nnn+-可得111ln(1)123nn+++++L.【例9】已知函数()ln()(0)fxxxaa的最小值为0，证明：12ln(21)2(*).21ninnNi【证明】易求1a，待证不等式等价于2222ln(21)35721nn,根据0ba时，lnlnbabba--，即1()lnlnbabab--,令21,21anbn=-=+,则22222ln(21)ln(21),ln3ln1,ln5ln3,ln7ln5,,2(1)121357nnnn=+-----+-+L2ln(21)ln(21)2(1)1nnn+--+-,将以上各不等式左右两边分别相加得：22222ln(21)3572121nnn，122ln21222121ninin,得证.【题型3】22(0)2lnlnabbababa+--的应用【例10】设数列na的通项111nann，其前n项的和为nS，证明：ln(1)nSn．【证明】根据0ba时，222lnlnabbaba+--，即222()lnlnbabaab--+，令1,bnan=+=,则2222222ln(1)ln(1)221222nnnannnnnn+-=++++++，易证ln(1)nSn．【题型4】(0)2lnlnabbababa+--的应用【例11】设数列na的通项111123nan，证明：ln(21)nan．【证明】根据0ba时，2lnlnabbaba+--，即2()lnlnbabaab--+，令21,21bnan=+=-,则1ln(21)ln(21)nnn+--，易证ln(21)nan．【题型5】2(0)11lnlnbababaab--+的应用【例12】已知函数()(0)bfxaxcax=++的图象在点(1,(1))f处的切线方程为1yx=-．证明：1111ln(1),(1)232(1)nnnnn++++++?+L【证明】当0ba时，211lnlnbabaab--+，即111lnln()2babaab骣÷ç-+-÷ç÷ç桫，令,1anbn==+则111ln(1)ln21nnnn骣÷ç+-+÷ç÷ç桫+,所以111111ln2ln1,ln3ln2,212223骣骣鼢珑-+-+鼢珑鼢珑桫桫L，111ln(1)ln21nnnn骣÷ç+