2020年新高考全国卷(山东卷)数学高考真题及答案详细解析

第1页共14页2020年普通高等学校招生全国统一考试·新高考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2x4}，则A∪B=A．{x|2x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x4}D．{x|1x4}2．2i12iA．1B．−1C．iD．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为第2页共14页A．20°B．40°C．50°D．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A．62%B．56%C．46%D．42%6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是A．()2,6B．()6,2C．()2,4D．()4,68．若定义在R的奇函数f(x)在(0),单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx的x的取值范围是A．[)1,1][3,B．3,1][,[01]C．[)1,0][1,D．1,0]3][[1,二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。第3页共14页9．已知曲线22:1Cmxny.A．若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n0，则C是圆，其半径为nC．若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为myxnD．若m=0，n0，则C是两条直线10．下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=A．πsin(3x）B．πsin(2)3xC．πcos(26x）D．5πcos(2)6x11．已知a0，b0，且a+b=1，则A．2212abB．122abC．22loglog2abD．2ab12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且1()0(1,2,,),1niiiPXipinp，定义X的信息熵21()logniiiHXpp.A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着ip的增大而增大C．若1(1,2,,)ipinn，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm，则H(X)≤H(Y)第4页共14页三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BHDG∥，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．16．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1D为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①3ac，②sin3cA，③3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC△，它的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sin3sinAB，6C，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．第5页共14页18．（12分）已知公比大于1的等比数列{}na满足24320,8aaa．（1）求{}na的通项公式；（2）记mb为{}na在区间*(0,]()mmN中的项的个数，求数列{}mb的前100项和100S．第6页共14页19．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：3μg/m），得下表：2SOPM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，2()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828第7页共14页20．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．第8页共14页21．（12分）已知函数1()elnlnxfxaxa．（1）当ea时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．第9页共14页22．（12分）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．第10页共14页2020年普通高等学校招生全国统一考试·新高考数学参考答案一、选择题1．C2．D3．C4．B5．C6．B7．A8．D二、选择题9．ACD10．BC11．ABD12．AC三、填空题13．16314．232nn15．54216．22四、解答题17．解：方案一：选条件①．由6C和余弦定理得222322abcab．由sin3sinAB及正弦定理得3ab．于是222233223bbcb，由此可得bc．由①3ac，解得3,1abc．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c．方案二：选条件②．由6C和余弦定理得222322abcab．由sin3sinAB及正弦定理得3ab．于是222233223bbcb，由此可得bc，6BC，23A．由②sin3cA，所以23,6cba．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c．方案三：选条件③．第11页共14页由6C和余弦定理得222322abcab．由sin3sinAB及正弦定理得3ab．于是222233223bbcb，由此可得bc．由③3cb，与bc矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．18．解：（1）设{}na的公比为q．由题设得31120aqaq，218aq．解得12q（舍去），2q．由题设得12a．所以{}na的通项公式为2nna．（2）由题设及（1）知10b，且当122nnm时，mbn．所以10012345673233636465100()()()()Sbbbbbbbbbbbbb2345012223242526(10063)480．19．解：（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的天数为32186864,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的概率的估计值为640.64100．（2）根据抽查数据，可得22列联表：2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010（3）根据（2）的列联表得22100(64101610)7.48480207426K．由于7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓第12页共14页度有关．20．解：（1）因为PD底面ABCD，所以PDAD．又底面ABCD为正方形，所以ADDC，因此AD底面PDC．因为ADBC∥，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC．由已知得lAD∥．因此l平面PDC．（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)DCBP，(0,1,0)DC，(1,1,1)PB．由（1）可设(,0,1)Qa，则(,0,1)DQa．设(,,)xyzn是平面QCD的法向量，则0,0,DQDCnn即0,0.axzy可取(1,0,)an．所以21cos,||||31PBaPBPBannn．设PB与平面QCD所成角为，则223|1|32sin13311aaaa．因为23261313aa，当且仅当1a时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63．21．解：()fx的定义域为(0,)，11()exfxax．（1）当ea时，()eln1xfxx，(1)e1f，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为(e1)(e1)(1)yx，即第13页共14页(e1)2yx．直线(e1)2yx在x轴，y轴上的截距分别为2e1，2．因此所求三角形的面积为2e1．（2）当01a时，(1)ln1faa．当1a时，1()elnxfxx，11()exfxx．当(0,1)x时，()0fx；当(1,)x时，()0fx．所以当1x时，()fx取得最小值，最小值为(1)1f，从而()1fx．当1a时，11()elnlneln1xxfxaxax．综上，a的取值范围是[1,)．22．解：（1）由题设得224