高中数学恒成立问题总结

高中数学恒成立问题解题思路在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有：1,一元二次方程根的判别式;2,参数大于最大值或小于最小值;3,变更主元利用函数与方程的思想求解。一、用一元二次方程根的判别式1，根的判别式2，对称轴3，特殊值有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。例1对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。练习：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。例2已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。0m3x2x203mx2mx22kx2x)x(f21xk)x(f二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。恒成立，即大于时大于函数值域的上界。恒成立，即小于时小于函数值域的下界。例1若不等式在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。练1：（2007年福建22）已知函数,)(kxexfx)(Rx：（1）、若ek，试确定函数)(xf的单调区间；（2）、若0k，且对于任意Rx，0)(xf恒成立，试确定实数k的取值范围；练2：设函数2)1()1ln()(xxaxf且)(xf在2x处有极值。（1）、求a；（2）、当eex1,11时，不等式kxf)(恒成立，求实数k的取值范围。)x(famax)x(fa)x(f)x(famin)x(fa)x(f1)xalg(ax2lg三、变更主元（换位思考）在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。例6若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。练：已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。（1）判断函数在［－1，1］上是增函数还是减函数。（2）解不等式。（3）若对所有、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。)1x(m1x222m2)x(f1)1(f0ba)b(f)a(f)x(f21x2f21xf1am2m)x(f2]1，1[x