第二章5(隐函数与参数方程求导)

第二章第四节一隐函数的求导法则二参数方程的求导法则开普勒方程这里是常数,0sinyxy这个方程不能将y用x的明显公式表示出来。但事实上y确实是x的函数。一般来说，凡是能够由方程0),(yxF确定的函数关系，称为隐函数。但需要注意的是，并不是随便写一个方程就能确定一个隐函数。比如.10这里就有专门的隐函数理论(隐函数存在定理)。.222ayx隐函数解:方程两边对x求导有由此得.0211dd2dd564xxyxyy.25211dd46yxxy例4.1,0,0yx由原方程知用复合函数求导法则直接对方程两边求导..)()(,)(,))(),((),(.0),(dxdydyydhdxydhyhyxyhxfFyxFyxF有时的函数当遇到关于则有求导方程两边对设可以确定一元隐函数设隐函数的求导法则.,00xyxdxdydxdyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解：则有求导方程两边对,x,0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知.1000yxyxxexyedxdy例4.2.,)23,23(,333在该点的法线通过原点并证明曲线的切线方程上点求过的方程为曲线CCxyyxC解：则有求导方程两边对,x,333322yxyyyx.1)23,23(22)23,23(xyxyy.03),23(23yxxy即所求切线方程为.,,2323显然通过原点即法线方程为xyxy例4.3.0sin21yyyx二阶导数所确定的隐函数的求例4.4解：求导得方程两边对x.cos22,0cos211ydxdydxdyydxdy求导，有上式两端再对x.)cos2(sin4)cos2(sin23222yydxdyyydxyd.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx例4.5解：求导得方程两边对x)1(,04433yyyxyx,1,0得代入yx;4110yxy求导得两边再对将方程x)1(.04)(12123222yyyyyyxyx.16110yxy),(,yxgdxdy可解得则一般根据隐函数求导法隐函数求二阶导数：求导，两边再对与上同理，在xyxgdxdy),(.),(),,,(22代入即可再将yxgdxdyyyxGdxyd隐函数方程求导的结果对数求导法有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数，但直接求导仍然困难或很麻烦，比如函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy对数求导法：先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。解:两边取对数,化为隐式两边对x求导,sinlncos1xxxxyy).sinlncos(sinxxxxxyx例4.6一般地，对于幂指函数),0)(()()(xuxuyxv有求导两边对,),(ln)(lnxxuxvy.lnln),()()()(ln)(1uuvuvuuuvuvyyxuxuxvxuxvyyv于是).ln(,)(ln)(uuvuvuyeyvxuxv也有两边直接求导或者将函数表示为.)4)(3()2)(1(的导数求xxxxy例4.7解：}.1,32,4|{xxxxD这个函数的定义域为两边取对数可得若,4x)],4ln()3ln()2ln()1[ln(21lnxxxxy],41312111[211xxxxyy].31312111[2xxxxyy求导可得两边对x，两边取对数得则若)4)(3()2)(1(,1xxxxyx)],4ln()3ln()2ln()1[ln(21lnxxxxy],41312111[211,xxxxyyx求导同对].41312111[2xxxxyy,32,x若同理].41312111[2xxxxyy.)0)(()()(的情形开方或者幂指函数多个函数相乘、乘方、xuxuxv对数求导法的适用范围:yxo.,,,21,21221铅直分量水平分别是抛物体初速度的其中可表示为抛物体的运动轨迹方程vvgttvytvx参数方程.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx问题:消参困难或无法消参如何求导?消去参数则有例如,21,,22xttytx.2,4)2(222xyxxty实际问题中，有时需要计算由参数方程所确定的函数的导数.这时，可以消去参数t求导.,)()(中在方程tytx),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得.)()(dd,00,0,1ttxyxtxtxtyxttyxy即有上式两边取极限有当参数方程求导法则.2)cos1()sin(处的切线方程在求摆线ttayttax例4.8解:,cos1sincossintttaatadtdxdtdydxdy.12cos12sin2tdxdy.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为).22(),12(axyaxay即).,2(nnt,)()(二阶可导函数tytxdxdtttdtddxdydxddxyd))()(()(22)(1)()()()()(2tttttt.)()()()()(322tttttdxyd即容易漏掉dxdt参数方程求二阶导.)cos1()sin(所确定方程的二阶导数求摆线tayttax解:,2cotcos1sincossinttttaatadtdxdtdydxdy例4.9).,2(nnt.)cos1(1)cos1(12sin21,1)2(cot)2(cot2222tatatdtdxtdtddxdttdtddxyd).,2(nnt)1(9.111.132Pttytx数所确定的函数的三阶导求由解:.8)1(321)33(41))31(41(),31(4121)2321()2321(,2321231//522433332222tttttdxdtdtttddxydttttdxdtdtttddxydttttdtdxdtdydxdy例4.10技巧:求高阶导数时,尽量将项写成容易求导的形式(幂函数),而不写成商的形式.例4.11.数计算下列函数的一阶导5432)1()3(2)3()2(;1)1(xxxybtyatxxeyy例4.12.数计算下列函数的二阶导tytxxeyy12)2(;1)1(2之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率一气球从距观测者500m处铅直上升，速率为140m／min.当气球的高度为500m时,观测员视线仰角的增加率是多少?提示:存在函数关系都与与其中thh,500tan对t求导.ddt需要求500h例4.13.5001sec2dtdhdtd.2sec,1tanm500,minm1400dd2时，且当已知hth.14.0,14.0dd弧度每秒加率为即观测员视线的仰角增t相关变化率问题的一般解法:找出相关变量x,y的关系式对t求导得到相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率P110-1111(3);2;3(2);4(2)(4)7(1);8(3)作业