第三章---受约束回归问题

第三章受约束回归问题一、模型参数的线性约束二、对回归模型增加或减少解释变量三、参数的稳定性检验四、非线性约束11/5/2020受约束回归在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对模型中的参数施加一定的约束条件。例如：需求函数的0阶齐次性条件：当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变。生产函数的1阶齐次性条件：α+β=1模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归（restrictedregression）;未加任何约束的回归称为无约束回归（unrestrictedregression）。11/5/2020一、模型参数的线性约束多元回归模型:11/5/2020kkXXXY22110施加约束:121kk1得:*11121110)1(kkkkXXXXY或:**1133*110*kkXXXY(1)(2)11/5/2020如果对（2）式回归得出:1310ˆ,,ˆ,ˆ,ˆk则由约束条件可得：12ˆ1ˆ1ˆˆkk然而，对所研究的具体问题能否施加约束？需进一步进行相应的检验。常用的检验有：F检验、x2检验与t检验。F检验在同一样本下，记无约束样本回归模型为:11/5/2020eβXYˆ受约束样本回归模型为:**ˆeβXY于是:)ββX(eβXeβXβXYe****ˆˆˆˆˆ11/5/2020受约束样本回归模型的残差平方和：RSSR)ββX(X)ββ(eeee****ˆˆˆˆ于是eeee**e′e为无约束样本回归模型的残差平方和：RSSU(3)受约束与无约束模型都有相同的总离差平方和TSS（因为受约束与无约束模型都有相同的被解释变量和样本）这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的解释能力。（模型的拟合优度=回归平方和/总平方和)但是，如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束回归模型具有相同或者近似的解释能力，RSSR与RSSU的差异变小。11/5/2020由（3）式RSSR≥RSSU从而ESSR≤ESSU（ESS为回归平方和）11/5/2020可用二者的差:RSSR-RSSU的大小来检验约束的真实性根据数理统计学的知识：)1(~/22UUknRSS)1(~/22RRknRSS)(~/)(22RUURkkRSSRSS其中kU为无约束模型解释变量个数，kR为受约束模型解释变量个数，于是：)1,(~)1/()/()(URUUURUURknkkFknRSSkkRSSRSSF结论如果约束条件无效，RSSR与RSSU的差异较大，计算的F值也较大。于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性进行检验。注意，kU-kR恰为参数关系约束条件的个数。11/5/2020模型参数约束回归案例例3.1建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。11/5/2020根据需求理论，城镇居民对食品的消费需求函数大致为:),,(01PPXfQQ:城镇居民的食品支出总额，X：城镇居民的消费支出总额,P1：食品价格指数，P0：居民消费价格指数。(4)11/5/2020零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变。)/,/(010PPPXfQ(5)为了进行比较，将同时估计（4）式与（5）式。11/5/2020根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:首先,确定具体的函数形式32101PPAXQ对上式进行对数变换，得到:031210lnlnln)ln(PPXQ(6)11/5/2020考虑到零阶齐次性时)/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(7)式相当于是对（6）式施加如下约束而得:0321因此，对（7）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。(7)11/5/2020表3.5.1中国城镇居民消费支出（元）及价格指数X(当年价)X1(当年价)GP(上年=100)FP(上年=100)XC(1990年价)Q(1990年价)P0(1990=100)P1(1990=100)1981456.8420.4102.5102.7646.1318.370.7132.11982471.0432.1102.0102.1659.1325.071.5132.91983505.9464.0102.0103.7672.2337.075.3137.71984559.4514.3102.7104.0690.4350.581.0146.71985673.2351.4111.9116.5772.6408.487.186.11986799.0418.9107.0107.2826.6437.896.795.71987884.4472.9108.8112.0899.4490.398.396.519881104.0567.0120.7125.21085.5613.8101.792.419891211.0660.0116.3114.41262.5702.295.994.019901278.9693.8101.398.81278.9693.8100.0100.019911453.8782.5105.1105.41344.1731.3108.2107.019921671.7884.8108.6110.71459.7809.5114.5109.319932110.81058.2116.1116.51694.7943.1124.6112.219942851.31422.5125.0134.22118.41265.6134.6112.419953537.61766.0116.8123.62474.31564.3143.0112.919963919.51904.7108.8107.92692.01687.9145.6112.819974185.61942.6103.1100.12775.51689.6150.8115.019984331.61926.999.496.92758.91637.2157.0117.719994615.91932.198.795.72723.01566.8169.5123.320004998.01958.3100.897.62744.81529.2182.1128.120015309.02014.0100.7100.72764.01539.9192.1130.8X：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数XC：人均消费（90年价）Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P1：居民食品消费价格缩减指数（1990=10011/5/20202004006008001000120014001600180082848688909294969800Q中国城镇居民人均食品消费特征：消费行为在1981~1995年间表现出较强的一致性；1995年之后呈现出另外一种变动特征。因此：我们只建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型。各变量的弹性之和，比较接近于零，但不为零。11/5/2020建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:(9.03)(25.35)(-2.28)(-7.34)5.00321)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ˆln(01PPXQ11/5/2020按零阶齐次性表达式回归:)/ln(09.0)/ln(07.183.3)ˆln(010PPPXQ（75.86）(52.66)(-3.62)01010ln98.0ln09.0ln07.183.3)ln(ln09.0)ln(ln07.183.3ˆlnPPXPPPXQ11/5/2020)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ˆln(01PPXQ与接近。意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征。为了比较，改写该式为：零阶齐次性检验11/5/2020例1.1中国城镇居民对食品的人均消费需求实例中，对零阶齐次性检验：231.010/003240.01/)003240.0003315.0(F无约束回归:RSSU=0.00324，kU=3受约束回归:RSSR=0.00332，KR=2样本容量n=14，约束条件个数kU-kR=3-2=1取=5%，查得临界值F0.05(1,10)=4.96结论：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设。11/5/2020说明：这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验例1.2生产函数的一阶齐次性检验11/5/202021生产函数的数学形式为LAKQ10,10在最初提出的C-D生产函数中，假定参数满足+=1，也就是假定研究对象满足规模报酬不变条件。LAKLAKLKA)()(Q为产出，K为资本投入，L为劳动力投入。很容易推出参数,分别是资本和劳动的产出弹性。那么由产出弹性的经济意义，应该有,即当资本与劳动的数量同时增长倍时，产出量也增长倍。1937年，提出了C-D生产函数的改进型，即取消了+=1的假定，允许要素的产出弹性之和大于1或小于1。11/5/202022uKLAQlogloglog例1.2Cobb-Douglas生产函数估计形式如下：利用美国主要金属工业企业的数据（27个企业的数据），C-D生产函数估计结果如下（Eviews输出结果）：11/5/202023从结果看LogL和logK的系数和小于1，但为确定这种差异是统计显著的，常进行有约束的Wald系数检验、F检验。选择View/CoefficientTests/Wald-CoefficientRestrictions，在编辑对话框中输入约束条件。为检验+=1的规模报酬不变的假设，输入下列约束：c(2)+c(3)=1EViews显示Wald检验如下结果（原假设：约束条件有效）：EViews显示F统计量和2统计量及相应的P值。2统计量等于F统计量乘以检验约束条件数。本例中，仅有一个约束条件，所以这两个检验统计量等价。它们的P值表明可以接受规模报酬不变的原假设。二、对回归模型增加或减少解释变量考虑如下两个回归模型11/5/2020kkXXY110qkqkkkkkXXXXY11110(8)(9)(8)式可看成是（9）式的受约束回归：H0：021qkkk11/5/2020相应的Ｆ统计量为：))1(,(~))1(/(/)())1(/(/)(qknqFqknRSSqESSESSqknRSSqRSSRSSFURUUUR))1(/()1(/)(222qknRqRRFURU将上式分子和分母同时除以TSS,得到Ｆ统计量的另一个等价式：11/5/2020如果约束条件为真，即额外的变量Xk+1,…,Xk+q对Ｙ没有解释能力，则Ｆ统计量较小；否则，约束条件为假，意味着额外的变量对Ｙ有较强的解释能力，则Ｆ统计量较大。因此，可通过F统计量的计算值与临界值的比较，来判断额外变量是否应包括在模型中。结论：检验若干线性约束条件是否成立的F检验例11.1：建立中国国债发行额模型。首先分析中国国债发行额序列的特征。1980年国债发行额是43.01亿元，占GDP当年总量的1%，2001年国债发行额是4604亿元，占GDP当年总量的4.8%。以当年价格计算，21年间（1980-2001）增长了106倍。平均年增长率是24.9%。0100020003000400050008082848688909294969800DEBT中国当前正处在社会主义市场经济体制逐步完善