《运筹学》-习题-线性规划部分练习题及-答案

《运筹学》线性规划部分练习题一、思考题1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2．线性规划问题的一般形式有何特征？3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10．大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。2．线性规划的可行解集是凸集。3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0j对应的变量都可以被选作换入变量。8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。9．单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量kx作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。10．一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。三、建立下面问题的数学模型1．某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表2—1所示：表2—1饲料蛋白质（克）矿物质（克）维生素（毫克）价格（元/公斤）1310．50．2220．51．00．7310．20．20．446220．35120．50．80．8要求确定既满足动物生长的营养要求，又使费用最省的选择饲料的方案。设有某种原料的三个产地为321,,AAA，把这种原料经过加工制成成品，再运往销售地。假设用4吨原料可制成1吨成品，产地1A年产原料30万吨，同时需要成品7万吨；产地2A年产原料26万吨，同时需要成品13万吨；产地3A年产原料24万吨，不需要成品。又知1A与2A间距离为150公里，1A与3A间距离为100公里，2A与3A间距离为200公里。原料运费为3千元/万吨公里，成品运费为2.5千元/万吨公里；在1A开设工厂加工费为5.5千元/万吨，在2A开设工厂加工费为4千元/万吨，在3A开设工厂加工费为3千元/万吨；又因条件限制，在2A设厂规模不能超过年产成品5万吨，1A与3A可以不限制（见表2——2），问应在何地设厂，生产多少成品，才使生产费用（包括原料运费、成品运费和加工费）最少？表2—2距产离地产地1A2A3A产原料数（万吨）加工费（千元/万吨）1A0150100305．52A15002002643A1002000243需成品数（万吨）71304某旅馆每日至少需要下列数量的服务员．（见表2—3）每班服务员从开始上班到下班连续工作八小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员。表2—3班次时间（日夜服务）最少服务员人数1上午6点—上午10点802上午10点—下午2点903下午2点—下午6点804下午6点—夜间10点705夜间10点—夜间2点406夜间2点—上午6点305．某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元/人日，秋冬季收入为20元/人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元/每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元/每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如表2—4所示表2—4大豆玉米麦子秋冬季需人日数春夏季需人日数年净收入（元/公顷）205030003575410010404600试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。6．市场对Ⅰ、Ⅱ两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1—4月份每月需1万件，5—9月份每月需3万件，10—12月份每月需10万0件；产品Ⅱ在3—9月份每月需1.5万件，其它每月需5万件。某厂生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1—5月份内生产时每件5元，6—12月份内生产时每件4.50元；产品Ⅱ在在1—5月份内生产时每件8元，6—12月份内生产时每件7元；该厂每月生产两种产品能力总和不超过12万件。产品Ⅰ容积每件0.2立方米，产品Ⅱ容积每件0.4立方米。该厂仓库容积为1万5千立方米，要求：（1）说明上述问题无可行解；（2）若该厂仓库不足时，可从外厂租借。若占用本厂仓库每月每立方米需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用最少？（建立模型，不求解）7．某工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品在下一年个季度的合同预定数如表2—5所示，该三种产品第一季度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为150件。已知该厂每季度生产工时为15000小时，生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ每件需3，4，3小时。因更换工艺装备，产品Ⅰ在第二季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品Ⅰ、Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿15元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为5元。问应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。表2—5产品季度1234Ⅰ1500100020001200Ⅱ1500150012001500Ⅲ15002000150025008．某玩具厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种玩具，这三种玩具需在Ａ、Ｂ、Ｃ三种机器上加工，每60个为一箱。每箱玩具在不同的机器上加工所需的时间（天）如表2—6所示，本月可供使用的机器的时间为：Ａ为15天，Ｂ为20天，Ｃ为２４天。每箱玩具的价格为Ⅰ：1500元；Ⅱ：1700元；Ⅲ：2400元。问怎样安排生产，使总的产值最大。表2—6加工天数机器ＡＢＣ玩具Ⅰ２６１玩具Ⅱ３２２玩具Ⅲ５２—９．某线带厂生产Ａ、Ｂ两种纱线和Ｃ、Ｄ两种纱带，纱带由纱线加工而成。这四种产品的产值，可变成本（即材料、人工等随产品数量变化的直接费用），加工工时等由表２—７给出，工厂有供纺纱的总工时7200h，织带的总工时1200h（1）列出线性规划模型，以便确定产品数量，使总的利润最大。（2）如果组织这次生产的固定成本（即与产品数量无关的间接费用）为20万元，线性规划模型有何变化？表2—7产品项目ＡＢＣＤ单位产值（元）1681401050406单位可变成本（元）4228350140单位纺纱工时（h）32104单位织带工时（h）0020．510．某制衣厂生产4种规格的出口服装，有三种制衣机可以加工这4种服装，他们的生产效率（每天制作的服装件数）等有关数据如表2—8所示，试确定各种服装的生产数量，使总的加工费用最小。表2—8衣服规格制衣机需要生产数量（件）ABCⅠ30060080010000Ⅱ2804507009000Ⅲ2003506807000Ⅳ1504104508000每天加工费（元）8010015011．某制衣厂生产两种服装，现有100名熟练工人。已知一名熟练工人每小时生产10件服装Ⅰ或6件服装Ⅱ。据销售部门消息，从本周开始，这两种服装的需求量将持续上升。见表2—9，为此，该厂决定到第8周末需培训出100名新工人，两班生产。已知一名工人一周工作40小时，一名熟练工人每周时间可培训出不多余5名的新工人（培训期间熟练工人和培训人员不参加生产）熟练工人每周工资400元，新工人在培训期间工资每周80元，培训合格后参加生产每周工资260元，生产效率同熟练工人。在培训期间，为按期交货，工厂安排部分工人加班生产每周工作50小时，工资每周600元。又若所定的服装不能按期交货，每推迟交货一周的赔偿费为：服装Ⅰ每件10元，服装Ⅱ每件20元。工厂应如何安排生产，使各项费用总和最少。表2—9（单位：千件/周）周次服装12345678Ⅰ2020242533344042Ⅱ121417222225252512．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几种主要工序。每种家具的每道工序所用时间及每道工序的可用时间，每种家具的利润由表2—10给出。问工厂应如何安排生产，使总的利润最大？表2—10生产工序所需时间（小时）每道工序可用时间一二三四五成型346233600打磨435643950上漆２３３４３2800利润（百元）２.7３４.52.5313．某混合饲料场饲养为某种动物配置。已知此动物的生长速度和饲料中的三种营养成分甲、乙、丙有关，且每头动物每天需要营养甲85克，乙5克，丙18克。现有五种饲料都含有这三种营养成分，每种饲料每公斤所含营养成分及每种饲料成本如表2—11所示，求即满足动物成长需要又使成本最低的饲料配方。表2—11饲料营养甲（克）营养乙（克）营养丙（克）成本（元）10．500．100．08222．000．060．70633．000．040．35541．500．150．25450．800．200．02314．某食品厂在第一车间用1单位原料N可加工3单位产品A及2单位产品B，产品A可以按单位售价8元出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加6元，加工后单位售价增加9元。产品B可以按单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工，单位生产费用要增加4元，加工后单位费用可增加6元。原料N的单位购入价为2元，上述生产费用不包括工资在内。3个车间每月最多有20万工时，每工时工资0.5元，每加工1单位N需1.5个工时，如A继续加工,每单位需3工时，如B继续加工，每单位需2个工时。原料N每月最多能得到10万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大。15．某公司有30万元可用于投资，投资方案有下列几种：方案Ⅰ：年初投资1元，第二年年底可收回1．2元。5年内都可以投资，但投资额不能超过１５万元。方案Ⅱ：年初投资1元，第三年年底可收回1．3元。5年内都可以投资。方案Ⅲ：年初投资1元，第四年年底可收回1．4元。5年内都可以投资。方案Ⅳ：只在第二年年初有一次投资机会，每投资1元，四年后可收回1.7元。但最多投资额不能超过10万元。方案Ⅴ：只在第四年年初有一次投资机会，每投资1元，年底可收回1.4元。但最多投资额不能超过20万元。方案Ⅵ：存入银行，每年年初存入1元，年底可收回1.02元.投资所得的收益及银行所得利息也可用于投资.求使公司在第五年底收回资金最多的投资方案.16.某