第3章高等代数张禾瑞

第三章行列式3.1线性方程组和行列式3.2排列3.3n阶行列式3.4子式和代数余子式行列式依行(列)展开3.5克拉默法则课外学习6：行列式计算方法课外学习7：q_行列式及其性质能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。――庞加莱(Poincare，1854－1921)一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。－－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）3.1线性方程组和行列式一、内容分布3.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)3.1.2行列式在线性方程组中的应用二、教学目的：1.了解二阶、三阶行列式的定义。2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。三、重点难点：利用对角线法则计算二阶、三阶行列式3.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)二阶行列式我们用记号22211211aaaa表示代数和21122211aaaa称为二阶行列式,即2112221122211211aaaaaaaa三阶行列式我们用记号333231232221131211aaaaaaaaa表示代数和312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为三阶行列式,即312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD主对角线法‘—’三元素乘积取“+”号；‘—’三元素乘积取“-”号.3.1.2行列式在线性方程组中的应用(1)如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)22221211212111bxaxabxaxa它的系数作成的二阶行列式022211211aaaa,那么方程组(1)有解.,222112112211112222112112221211aaaababaxaaaaababx(2)如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa他的系数作成的三阶行列式0333231232221131211aaaaaaaaaD,那么方程组(2)有解,,,332211DDxDDxDDx这里332312222111211333331232211311123332323222131211,,baabaabaaDabaabaabaDaabaabaabD我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.例题选讲.2534例(2)(1)2计算,013D又如设试问当为何值时当为何值时,D;0D.解:由阶行列式的定义有:.30,03)2(.30,03)1(313235)3(2425342222或得时当或得时当而DDD3.2排列一、内容分布3.2.1排列、反序与对换3.2.2奇、偶排列的定义及性质二、教学目的了解排列、反序、对换的定义三、重点难点求反序数3.2.1排列、反序与对换例如:1234，2314都是四个数码的排列。定义1n个数码n,2,1的一个排列指的是由这n个数码组成的一个有序组.n个数码的不同排列共有n！个例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！=6个，它们是：123，132，231，213，312，321。定义2在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为1m个，那么就有1m个数码与1构成反序；然后把1划去，再看有多少个数码排在2的前面，设为2m个，那么就有2m个数码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面，设为3m个，……，如此继续下去，最后设在n前面有nm个数码（显然0nm），那么这个排列的反序数等于nmmm21。例如：在排列451362里，.0,2,4,2654321mmmmmm所以这个排列有8个序。一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。3.2.2奇、偶排列的定义及性质定义3看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j）来表示。定理3.2.1nnjjjiii2121和设是n个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换由nnjjjiii2121得出证明:我们已经知道，通过一系列对换可以由noiiin1221得出我们只需证明，通过一系列对换可由njjjn2112得出，而通过一系列对换可以由njjjn1221得出，按照相反的次序施行这些对换，就可由njjjn2112得出。定理3.2.2任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变.其中A与B都代表若干个数码.施行对换,,ji得证明:我们首先看一个特殊的情形，就是被对换的两个数码是相邻的。设给定的排列为1AB,,,,ij我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排列中，,ji那么经过对换ji,后，i与j就构成一个反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数增多一个。若在给定的排列中，,ji那么经过对换后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形，排列的奇偶性都有改变。AB,,,,ij现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我们用skkk,,,21来代表。这时给定的排列为2.,,,,,,,21jkkkis（1）先让i向右移动，依次与skkk,,,21交换。这样，经过s次相邻的两个数码的对换后（1）变为.,,,,,,,21jikkks再让j向左移动，依次与12,,,,,kkkis交换。经过s+1次相邻的两个数码的对换后，排列变为.,,,,,,21ikkkjs（2）ji,1但（2）正是对（1）施行对换而得到的排列。因此，对（1）施行对换相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性相反。ji,ji,定理3.2.3在n个数码(n1)的所有n！个排列，其中奇偶排列各占一半.即各为2!n个。证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换,,ji那么由定理3.2.2,我们得到p个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以.qp同样可得.pq因此.qp例题选讲.325141的逆序数计算排列例.,2179863542并讨论其奇偶性的逆序数计算排列例.,321)1(3并讨论其奇偶性的逆序数求排列例nn)2(n3.3n阶行列式一、内容分布3.3.1n阶行列式的定义3.3.2行列式的性质二、教学目的：1.掌握和理解n阶行列式的定义。2.会利用定义计算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性质。4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。三、重点难点：利用定义计算行列式利用性质熟练计算及证明行列式3.3.1n阶行列式的定义定义1),2,1,(2njianij个元素用组成的记号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列.任意取2n个数),,,2,1;,,2,1(njniaij排成以下形式:.212222111211nnnnnnaaaaaaaaa(1)考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘积可以写成下面的形式:,11121njjjaaa(2)是1,2,…,n这n个数码的一个这里下标njjj,,,21排列.反过来,给了n个数码的任意一个排列,我们也能得出这样的一个乘积.因此,一切位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n！个.我们用符号),,,(21njjj表示排列njjj,,,21的反序数.定义2用符号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.11121njjjaaa项njjjaaa11121的符号为,)1()(21njjj也就是说,当njjj,,21是偶排列时,这一项的符号为正,当njjj,,21是奇排列时,这一项的符号为负.例1我们看一个四阶行列式.00000000hgfedcbaD根据定义,D是一个4!=24项的代数和。然而在这个行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排列.因此.degbcfgbadehacfhD转置一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111D叫D的转置行列式。引理3.3.1从n阶行列式的列行和第第nnjjjiii,,,,,,2121取出元素作乘积（3）,2211nnjijijiaaa这里nnjjjiii,,,,,,2121和都是1，2，…，n这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是)(),(,)1(2121nntsjjjtiiis证:如果交换乘积(3)中某两个因子的位置,那么(3)的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换,假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为ts和,那么由定理3.2.2，ttss和都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以是一个偶数。因此tsts与同时是偶数或同时是奇数，从而tsts)1()1()()()()(ttsststs另一方面，由定理3.2.1，排列niii21总可以经过若干次对换变为，因此，经过若干次交换因子的次序，乘积（3）可以变为nnkkkaaa2211（4）这里nkkk21是n个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符号是)(21)1(nkkk。然而0)12(n。由上面的讨论可知)()()12(2121)1()1()1(nnkkkkkknts引理被证明。n123.3.2行列式的性质项。这一项的元素位于D的不同的行和不同的列，所以位于D的转置行列式行，因而也是D里和在的两项显然也是项的代数和，即现在设nnkkkaaa2211是n阶行列式D的任意一D的不同的列和不同的D的一项，由引理3.3.1，这一项在D里的符号都是)(21)1(nkkk，并且D中不同D中不同的两项，因为D与D的项数都是n！，所以D与D是带有相同符号的相同DD。于是有命题3.3.2行列式与它的转置行列式相等，即DD命题3.3.3交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。证设给定行列式nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211交换D的第i行与第j行得)()(.212121112111jiaaaaaaaaaaaaDnnnniniijnj