矢量空间的直和与直积

§5矢量空间的直和与直积§5-1直和空间§5-2直积空间有时需要由两个已知的矢量空间1R和2R构造一个更大的矢量空间。在本节中我们讨论两种构造的方法，两个空间的直和与直积。§5-1直和空间设矢量空间1R中的矢量是，，，算符是，，BA；而矢量空间2R中的矢量为，，，算符，，ML，这些都是已知的，现在构造它们二者的直和空间。考虑一种“双矢量”作为我们的数学对象，双矢量即取1R空间中一个矢量与2R空间中一个矢量放在一起（不记次序），例如与放在一起，我们用下列特殊记号表示：，它们分别称为矢量与的直和，或与的直和。这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。定义这个空间中的三种运算：加法：)()()()(（5.1）在直和空间中的加法单位元（零矢量）是)2()1(OOO式中）（1O和）（2O分别是1R和2R中的加法单位元。数乘：aaa)(内积：))((（5.2）（5.3）如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积可按分配律展开。容易证明上述定义满足(1)~(12)的所有条件。于是，构造成功了一个新的矢量空间R，我们说空间R是1R和2R的直和空间，表为21RRR（5.5）现在，用1R中的算符，，BA和2R中的算符，，ML去构造直和空间中的算符LA，称为LA，两算符的直和，其作用为LALA))((（5.6）如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢量，则上式可按分配律展开。算符的加法和乘法可根据上述定义得出：)()()()(MLBAMBLA（5.7）LMABMBLA))(((5.8)证明：将其左边作用于直和空间中的任一矢量上，有))(()())()((LMABLMABMBLAMBLALALA))(())(()())()((LMABLMABMBLAMBLA设1R为1n维，2R为2n维，讨论其直和空间21RR的维数。由于加法定义（5.1）式的存在，直和空间中任意两个双矢量形式的矢量叠加，仍可写成双矢量的形式。这就是说，直和空间中的全部矢量，都是形如的矢量。直和空间的维数：)()()()(在1R中取一组基矢,,,2,1},{1nii，设这组基矢是算符K的本征矢量（K表象）；在2R中取P表象，其基矢为,,,2,1},{2nmm那么直和空间中的任意矢量都可以写成下列的形式：mmmiii由此可以看出，若取直和空间的基矢为2,1)1()2(,2,1,,2,1},{nmniOOmi则任意矢量都可以写成上述共21nn个基矢的叠加。于是得出，直和空间的维数是两个空间维数之和：2,1)1()2(,2,1,,2,1},{nmniOOmi21nnn（5.9）（5.10）2,1)1()2(,2,1,,2,1},{nmniOOmi在直和空间中，以（5.9）为基矢的表象可以称为KP表象或PK表象，因为它们是算符PK的本征矢量，容易证明它们是归一化的而且彼此正交。下面讨论矢量和算符的矩阵表示。为具体起见，我们取1R为2维，2R为3维，基矢分别为}{21，和}{321，，，这时，直和空间为5维，其基矢为32121OOOOO，，，，我们把这5个基矢写成51EE。于是，在1R和2R中，和的矩阵为（分别为K表象和P表象）：32121，式中mmii,。（5.11）在直和空间中，矢量的KP表象的矩阵形式为32121（5.12）在直和空间中，算符LA的矩阵形式成为算符的矩阵形式也可以同样讨论；在1R和2R中，算符A和L的矩阵形式分别为33231332221231211122122111LLLLLLLLLLAAAAA（5.13）33323123222113121122211211000000000000LLLLLLLLLAAAALOOALA（5.14）在上式中NmmnjiijLLAA,，nmmnLL。有时也在直和空间中说算符A，那实际上是指算符)2(OA，说算符L是指LO)1(，这里)1(O和)2(O分别是1R和2R中的零算符。当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切关系都是明显的，这里不在赘述。最后讨论一下子空间中的直和。若1R和2R是大空间的两个子空间，则只有当1R和2R除零矢量O外不含公共矢量时，才可以谈论二者的直和。这是因为大空间中的加法适用于所有矢量，从1R和2R中各取一个矢量构成的双矢量与二者之和是等价的，前面公式中矢量的直和号可以径直改写为加号。直和空间不只包含1R和2R中的所有矢量，还包含更多的矢量。例如在三维物理空间中，若1R是xy平面上的所有矢量，2R是沿z轴的矢量，则21RR包含这个三维空间中的全部矢量。由于算符在整个大空间中都有定义，所以一切算符在1R和2R中是通用的，这时没有算符的直和这一概念，（5.6）式和（5.14）式都不存在。§5-2直积空间直积就是由两个已知空间},,{:1R和},,{:2R构造一个较大空间的另一种方法。直积空间中的数学对象也是双矢量以及它们的叠加；双矢量也是从1R和2R中各取一个矢量不记次序的放在一起；与直和空间的区别在于三种运算规则不同，所以直积空间的性质和直和空间有很大的不同。与的直积写成（5.17）直积符号在很多情况下可以省去。直积空间21RR中的运算规则如下：加法：是一个新的矢量，一般不能表示为双矢量的形式，这与直和空间中的加法不同。加法的单位元是)2()1(OOO数乘：)()(aaa(5.18)内积：))((此外，还有一个直积的分配律：)((5.19)(5.20)(5.21)这样，就构成了一个新的矢量空间，称为1R和2R的直积空间。设1R中的算符为2,,,RBA中的算符为,,,ML那么直积空间中的算符为LA，其意义为LALA))((算符运算有下列的关系：LBLALBA)(LMABMBLA))(((5.22)(5.23)(5.24)从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢量有作用，对别的空间的矢量没有作用，习惯了以后，算符间的乘号也可以省去。算符的直积：有时在直积空间中也说算符A或算符L，这并不是指1R或2R中的算符，A是)2(IA的简写，L是LI）（1的简写。若在直积空间中写LA，那就是LIIALA）（）（12(5.25)式中）（1I与）（2I分别是1R和2R的单位算符。上式左方的加号，仍然是直积空间中的加法，因为1R中的A和2R中的L是没有加法的。现在，在1R中取K表象，基矢是}{i，在2R中取P表象，基矢是}{m，则1R中的任意矢量和2R中的任意矢量可以写成iiiii,mmmmm,iiiii,mmmmm,这时imimimmimimiE)()((5.26)(5.27)可见，若在直积空间中取全部形如mi的矢量为基矢，则可以叠加出所有的基矢，这些基矢是用两个下标i和m编号的：mimiimE(5.28)imE共有21nn个，即直积空间的维数等于两空间维数的乘积。注意miimE正是直积算符PK的本征矢量。所以以imE为基矢的表象是PK表象，或简单称KP表象。为简单计，我们仍取,3,221nn则在KP表象中的矩阵形式32221231211132121可以写成21式中的代表这个13矩阵。虽然与直和一样，直积矢量也是与次序无关的，但习惯上仍约定1R中的量写在前面，2R中的量写在后面，im的编号次序是i先取m,1取遍所有的值后，i再取2，以此类推。用这个次序作为直积空间中的基矢的次序。直积算符LA在KP表象的矩阵形式是mnijnjmijnimLALALA,)((5.30)例如直积算符LA矩阵的第12行第34列的元是2413LA；写成矩阵是直积算符的矩阵表示：33223222312233213221312123222222212223212221212113221222112213121212112133121112311233113211311123121112211223112211211113121112111213111211111133231332221231211122122111LALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALALLLLLLLLLAAAALA此式可以写成一种便于记忆的形式：LALALALALA22122111式中的L代表整个33矩阵。(5.32)(5.31)在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积，两个矩阵（可以不是方阵）的直积的定义就是（5.31）式。以上我们对于两个矢量空间的直积作了一些讨论，当然也可以用同样的方法讨论两个以上空间的直积。