圆锥曲线定值定点专题

专题二压轴解答题以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求变中有不变的量.一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法.类型一定值问题典例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为22，左焦点2,0F，直线:lyt与椭圆交于,AB两点，M为椭圆上异于,AB的点.（1）求椭圆E的方程；（2）若6,1M，以AB为直径的圆P过M点，求圆P的标准方程；（3）设直线,MAMB与y轴分别交于,CD，证明：OCOD为定值.【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，且过点312，.F为椭圆的右焦点，,AB为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AFBF分别交椭圆于,CD两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若AFFC，求BFFD的值；⑶设直线AB，CD的斜率分别为1k，2k，是否存在实数m，使得21kmk，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.类型二定点问题典例2已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，B为椭圆的上顶点，12BFF为等边三角形，且其面积为3，A为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于,MN两点（,MN不是左、右顶点），且满足MANA，试问：直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【举一反三】已知定点3,0A、3,0B，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为19，记动点M的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点1,0T的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点,0Ss，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由.典例3已知抛物线C：22ypx（0p）的焦点是椭圆M：22221xyab（0ab）的右焦点，且两曲线有公共点22633，（1）求椭圆M的方程；（2）椭圆M的左、右顶点分别为1A，2A，若过点40B，且斜率不为零的直线l与椭圆M交于P，Q两点，已知直线1AP与2AQ相较于点G，试判断点G是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【举一反三】如图，设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，点D在椭圆上，112DFFF，121||22||FFDF，12DFF的面积为22.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx与椭圆22221(0)xyabab交于点A，B（A在x轴上方），且263ABa.设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）.（1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q.①求证：直线OQ的斜率为定值；②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证：AFCE为定值.2．如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：2214xy的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q．（1）若APPQ，求直线l的斜率；（2）过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点MN，，求证：2APAQMN为定值．3．已知椭圆C：22221(0)yxabab的离心率为12，且上焦点为0,1F，过F的动直线l与椭圆C相交于M、N两点．设点3,4P，记PM、PN的斜率分别为1k和2k．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于1，求12kk的值；（3）探索1211kk是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出1211kk的取值范围．4.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是12，其左、右顶点分别为1A、2A，B为短轴的一个端点，12ABA的面积为23．（1）求椭圆C的方程；（2）直线:22lx与x轴交于D，P是椭圆C上异于1A、2A的动点，直线1AP、2AP分别交直线l于E、F两点，求证：||||DEDF为定值．5.已知圆22:1Oxy与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B.（1）若过点13,22C的直线l被圆O截得的弦长为3，求直线l的方程；（2）若在以B为圆心半径为r的圆上存在点P，使得2PAPO(O为坐标原点)，求r的取值范围；（3）设1122,,,MxyQxy是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为1M，点M关于x轴的对称点为2M，如果直线12QMQM、与y轴分别交于0,m和0,n，问mn是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy中，已知点(2,0)A，点(0,2)B，点(3,1)C．（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；（2）过直线4yx上一点Q，作圆P的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点，并求出定点坐标．7.已知圆1C：22(1)8xy++=，点2(1C，0)，点Q在圆1C上运动，2QC的垂直平分线交1QC于点P．（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）设、MN分别是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若122OCONOM，O为坐标原点，求直线MN的斜率MNk；（3）过点103S,且斜率为k的动直线l交曲线W于，AB两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．8.如图，在直角坐标系xOy中，圆22:4Oxy与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．（1）若2AMk，12ANk，求△AMN的面积；（2）过点(33,5)P作圆O的两条切线，切点分别为E，F，求PEPF；（3）若2AMANkk，求证：直线MN过定点．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆22:4Oxy交x轴于点,AB（点A在x轴的负半轴上），点M为圆O上一动点，,MAMB分别交直线4x于,PQ两点。（1）求,PQ两点纵坐标的乘积；（2）若点C的坐标为(1,0)，连接MC交圆O于另一点N．①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由；②记,MANA的斜率分别为12,kk，试探究12kk是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．压轴解答题以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求变中有不变的量.一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法.类型一定值问题典例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为22，左焦点2,0F，直线:lyt与椭圆交于,AB两点，M为椭圆上异于,AB的点.（1）求椭圆E的方程；（2）若6,1M，以AB为直径的圆P过M点，求圆P的标准方程；（3）设直线,MAMB与y轴分别交于,CD，证明：OCOD为定值.【答案】（1）22184xy（2）2217039xy（3）见解析【解析】（2）设,Ast，则,Bst，且2228st.①∵以AB为直径的圆P过M点∴MAMB∴0MAMB，又∵6,1MAst，6,1MBst∴22610st.②由①②解得：13t，或1t（舍）∴2709s.又∵圆P的圆心为AB的中点0,t，半径为2ABs，∴圆P的标准方程为2217039xy.（3）设00,Mxy，则MAl的方程为0000tyyyxxsx，若k不存在，显然不符合条件.令0x得000Ctxsyysx；同理000Dtxsyysx，∴OCOD000000CDtxsytxsyyysxsx222222220000222200txsytxsyxxxs22220022082828282tytyyt22022088422tyty为定值.【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．【举一反三】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，且过点312，.F为椭圆的右焦点，,AB为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AFBF分别交椭圆于,CD两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若AFFC，求BFFD的值；⑶设直线AB，CD的斜率分别为1k，2k，是否存在实数m，使得21kmk，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143xy（2）73（3）53m【解析】（2）若AFFC，由椭圆对称性，知31,2A，所以31,2B，此时直线BF方程为3430xy，由223430,{1,43xyxy，得276130xx，解得137x（1x舍去），故11713317BFFD．（3）设00,)Axy（，则00,Bxy，直线AF的方程为0011yyxx，代入椭圆方程22143xy，得2220000156815240xxyxx，因为0xx是该方程的一个解，所以C点的横坐标008552Cxxx，又,cCCxy在直线0011yyxx上，所以000031152Ccyyyxxx，同理，D点坐标为0085(52xx，003)52yx，所以000002100000335252558585335252yyxxykkxxxxx，即存在53m，使得2153kk．类型二定点问题典例2已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，B为椭圆的上顶点，12BFF为等边三角形，且其面积为3，A为椭圆的右顶点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于,MN两点（,MN不是左、右顶点），且满足MANA，试问：直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】(Ⅰ)22143xy；（Ⅱ）直线l过定点，定点坐标为207，.【解析】（Ⅱ）设11Mxy，，22Nxy，，联立22{1.43ykxmxy，得222348430kxmkxm，22222264163430340mkkmkm，即1222122834{43·.34mkxxkmxxk，又22221212121223434mkyykxmkxmkxxmkxxmk，因为椭圆的右顶点为20A，，∴1MANAkk，即1212·122yyxx，∴121212240yyxxxx，∴22222234431640343434mkmmkkkk，∴2271640mmkk．解得：12mk，227km，且均满足22340km，当12mk时，l的方程为2ykx，直线过定点20，，与已知矛盾；当227km时，l的方程为27ykx，直线过定点207