2019年线性空间的定义与性质.ppt

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．一、线性空间的定义若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的积，记作RVV定义１设是一个非空集合，为实数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记作V,VVRRV,;,,设;0,,0)3(都有对任何中存在零元素在VV;)1(;)2(如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域上的向量空间（或线性空间）．VR;1)5(;)6(.)8(;)7(;0,,)4(使的负元素都有对任何VV2．向量空间中的向量不一定是有序数组．3．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．说明1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．例１实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作．nmnmR,nmnmnmCBA,nmnmDA.是一个线性空间nmR线性空间的判定方法.,},,,,{][,][,0101量空间向数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法即记作的多项式的全体次数不超过RaaaaxaxapxPxPnnnnnn例2通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．)()(0101bxbxbaxaxannnn)()()(0011baxbaxbannn][xPn)(01axaxann)()()(01axaxann][xPn.][对运算封闭xPn.}0,,,,{][0101间空和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法且次多项式的全体aRaaaaxaxapxQnnnnnn例3p0000xxn][xQn.][对运算不封闭xQn例４正弦函数的集合.,sinRBABxAsxS对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．221121sinsinBxABxAssxbxaxbxasincossincos2211xbbxaasincos2121BxAsin].[xS11111sinsinBxABxAs][xS是一个线性空间.xS例５在区间上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．],[ba一般地例６正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为R.,,,,RbaRaaabba验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．R（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．证明;,,RabbaRba.,,RaaRaR所以对定义的加法与乘数运算封闭．下面一一验证八条线性运算规律：;)1(abbaabba);()()())(2(cbacabcabcba有对任何中存在零元素,,1)3(RaR;11aaa使有负元素,,)4(1RaRa;111aaaa;1)5(1aaa;)6(aaaaa;)7(aaaaaaaabaababba)()()8(所以对所定义的运算构成线性空间．R.baba0,,0),,(1nTxx不构成线性空间．对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例７个有序实数组成的数组的全体nRxxxxxxxSnnTn,,,),,,(2121.对运算封闭Sn,1ox但.不满足第五条运算规律.,线性空间不是所以线性运算由于所定义的运算不是Sn1．零元素是唯一的．证明假设是线性空间V中的两个零元素，210,0.0,021由于,0,021V所以.000,000121212则对任何，V有.000000212211二、线性空间的性质2．负元素是唯一的．证明假设有两个负元素与，那么.0,0则有00.向量的负元素记为..00;1;00.3证明,101010.00,0011111.1100.04．如果，则或.000证明假设,0那么011.0.11又.0同理可证：若则有0.0三、线性空间的子空间定义2设是一个线性空间，是的一个非空子集，如果对于中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称为的子空间．VLVVVLL定理线性空间的非空子集构成子空间的充分必要条件是：对于中的线性运算封闭．VLVL解(1)不构成子空间.因为对1000001WBA??32为什么空间的下列子集是否构成子R;,,001)1(1RdcbdcbW.,,,0000)2(2RcbacbacbaW例8有,0000021WBA即对矩阵加法不封闭，不构成子空间.1W,000000)2(2W因.2非空即W对任意2222111000,000WcbaBcbaA有,0111cba,0222cba于是212121000ccbbaaBA满足,0212121ccbbaa,2WBA即有对任意Rk111000kckbkakA且,0111kckbka,2WkA即.322的子空间是故RW线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算四、小结线性空间是二维、三维几何空间及维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.n思考题??,,为什么上的一个线性空间是否构成数量乘法对于通常的向量加法和的所有解向量元非齐次线性方程组上的实数域RBAXnR思考题解答.上的一个线性空间不能构成R答BXABXABAXnXX2121,,,,则的解向量元非齐次线性方程组都是设事实上BBBBXAXAXXA2)(2121但.,21不封闭向量的集合对加法运算也就是说所有解的解向量不是即BAXXX.空间因此不能构成一个线性