1-4-矩阵分块法

上页下页铃结束返回首页§1.4矩阵分块法用若干条横、竖线将矩阵划分成块,各小块称为子矩阵.以子矩阵为元素的[形式上的]矩阵,称为分块矩阵.例1将34矩阵分块,分块法有多种.111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa11122122AAAA例如:111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa131112212223AAAAAA试问:共有多少种分块法?(121)(1331)14813122分块:23分块:上页下页铃结束返回首页例2设a,a1,a2,a3,b均为4维列向量,且解123(,,,),Aaaaa123(,,,),Baaab321(,,,)Caaab若|A|a,|C|c,则|A2B|__________.123|2|det(3,3,3,2)ABaaaab12327det(,,,2)aaaab12312327[det(,,,)det(,,,2)]aaaaaaab12332127[det(,,,)2det(,,,)]aaaaaaab27(2)ac12312327[det(,,,)2det(,,,)]aaaaaaab2754ac上页下页铃结束返回首页•设ml矩阵A按行分块为1(,,)nBbb按矩阵的乘法运算11(,,)nmaABbbaln矩阵B按列分块为1maAa1jjmjabAbab1(,,)iiinaBabab(1)式可写成下列两种形式:11(,,)(,,)nnAbbAbAb11mmaaBBaaB(1)注意1111nmmnabababab注:将ai改为矩阵Ai(列数l),bj改为矩阵Bj(行数l),以上两式也成立.于是(1)式可推广为上页下页铃结束返回首页11(,,)nmABBA11(,,)nmaABbba1jjmjabAbab1(,,)iiinaBabab(1)式可写成下列两种形式:11(,,)(,,)nnAbbAbAb11mmaaBBaaB(1)注意1111nmmnabababab注:将ai改为矩阵Ai(列数l),bj改为矩阵Bj(行数l),以上两式也成立.于是(1)式可推广为1111nmmnABABABAB•设ej为n阶单位阵E的第j列,1(,,)nAAEAee(1,,).jAejn1(,,)nAeAe于是A的第j列可表示为对于mn矩阵A,(2)上页下页铃结束返回首页例3设1111,nrrnccCcc1111nssnddDdd记(),ijFACf(),ijGBDg(,)(),ijCHABhD则1111ijijirrjijissjhacacbdbdijijfg于是,HFG即(,)CABACBDD()()1111,rmmraaAaa1111smmsbbBbb注:一般地,我们有1111(,,)nnnnBAAABABB(Ai的列数等于Bi的行数)上页下页铃结束返回首页1112111221222122AABBAABB111211121111122111121222212221222111222121122222AABBABABABABAABBABABABAB推导记11121111222122122122(,),(,),,BBAAAAAABBBB则1122(,)ABBA11122122ABABABAB11111221111212222111222121122222ABABABABABABABAB例4设Ai1,Ai2的列数分别等于B1j,B2j的行数,试推导注:一般地,我们有1111(,,)nnnnBAAABABB(Ai的列数等于Bi的行数)上页下页铃结束返回首页解由已知|A|0,|B|0,于是|D||A||B|0,设1,XVDUY其中方阵X,Y分别与A,B同阶,1nrEOXVAODDUYCBOE解得1111XAYBUBCAVO因此11111AODBCAB则例5设A为n阶可逆方阵,B为r阶可逆方阵,C为rnAODCB矩阵,证明可逆,并求D1.D可逆.因此XAVCVBUAYCYB于是有nrXAVCEVBOUAYCOYBE上页下页铃结束返回首页矩阵的分块运算只要保证子矩阵之间的运算可行,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相仿.(1)设矩阵A与B为同型矩阵,采用相同的分块形式1111,rssrAAAAA1111rssrBBBBB其中Aij与Bij为同型矩阵,11111111rrsssrsrABABABABAB1111,rssrkAkAkAkAkATT111TTT1srsrAAAAA则上页下页铃结束返回首页矩阵的分块运算只要保证子矩阵之间的运算可行,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相仿.(2)设A为ml矩阵,B为ln矩阵,分块成1111,tsstAAAAA1111rttrBBBBB注意:一定要保证Aik的列数等于Bkj的行数.则其中1111(,,)jijiitijittjtjBCAAABABBijsrABC注:例3和例4为特殊情形,而一般情形可仿例4推知.上页下页铃结束返回首页分块对角阵11diag(,,)ssAAAAA1(1)||||||;sAAA1(2);nnnsAAA(3)A可逆的充要条件是Ai(i1,,s)都可逆,且有1111diag(,,)sAAA其中Ai(i1,,s)都是方阵,空白处元素全为零.•性质上页下页铃结束返回首页解例6设23003400,00340057A求A1.令123,34A234,57A则1||1,A143,32A11114332||AAA2||1,A274,53A12217453||AAA111124300320000740053AAA上页下页铃结束返回首页解令111,11A222,02A则例7设求An.11001100,00220002A211222,22AA1112nnAA11112222nnnn211201nnnA2112,01A1201nn1111122200220000220002nnnnnnnnnnAOAOAn上页下页铃结束返回首页作业习题1.4:1.2.3.