圆锥曲线重要结论

1圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)1．已知动点P在椭圆22143xy上，12,FF为椭圆之左右焦点，点G为△12FPF内心，试求点G的轨迹方程.2．已知动点P在双曲线22143xy上，12,FF为双曲线之左右焦点，圆G是△12FPF的内切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AFBFep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB在同支时11112||||AFBFepAB在异支时11112||||||AFBFep抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AFBFep3.已知椭圆22143xy，F为椭圆之左焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点，是否存在实常数，使ABFAFB恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.2性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epeCDAB22||1||12双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epeCDAB2|2|||1||12抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epeCDAB22||1||124．已知椭圆22143xy，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线12,ll分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，且12ll，是否存在实常数，使ABCDABCD恒成立.并由此求四边形ABCD面积的最小值.性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值5．已知椭圆22184xy，点1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l分别交椭圆于A，B两点，设直线AB与y轴于点M，11,,MAAFMBBF试求的值.性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AB，AC，其共线向量比之和为定值．即定值222211112eeCFAFBFAF6．已知方向向量为(1,3)e的直线l过点(0,23)A和椭圆2222:1xyCab(0)ab的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：0,OBeABAO.⑴求椭圆C的方程；⑵设E为椭圆C上任一点，过焦点12,FF的弦分别为,ESET,设111,EFFS222EFFT，求12的值.3圆锥曲线中的重要性质经典精讲中性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N（t,0）的一条弦端点与对应点0,2ta的连线所成角被对称轴平分。1.已知椭圆22184xy，点1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线1l分别交椭圆于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P，使得斜率0PAPBkk.2.已知双曲线22131xy，过(,0)Nt点的直线1l交双曲线于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P，使得斜率0PAPBkk.3.抛物线24yx，直线l过点P(t,0)并交抛物线于A,B两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A，B，P’(-t,0)三点共线。性质二：过圆锥曲线上一定点作倾角互补的两直线与曲线的另两交点的连线的倾角为定值4.过点(1,2)P作抛物线24yx的直线PA、PB，且斜率0PBPAkk+.（1）探究直线AB的斜率是否为定值.（2）试研究三角形PAB的面积是否有最大值.性质三：椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值22PAPBbKKa双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值22PAPBbKKa椭圆上动点对直径端点的斜率积为定值22PAPBbKKa双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值22PAPBbKKa45.已知椭圆22184xy的动弦AB的中点为M，试研究斜率ABOMkk是否为定值（O为原点）。6.已知定点(3,0),(3,0)AB，动点P满足，直线PA，PB的斜率12PAPBkk，试探求点P的轨迹.7．已知椭圆012222babyax的离心率为23，且过点21,3。（1）求椭圆C的方徎;（2）设椭圆的左右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线L:1534x分别交于M，N两点，求线段MN长度的最小值。（法1：设直线AS：x=my-2,得点S纵坐标与m的关系，同理设BS：x=ny+2得点S纵坐标与n的关系，进而易得mn=-4，成为MN最值分析的条件。法2，直接使用上述结果可得斜率之积为定值22PAPBbKKa=-1/4，或转为直接证明之得关健条件，后面过程相同，简化了运算。）性质四：椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值22POLbKKa双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值22POLbKKa7.已知点P为椭圆22184xy上的动点，设点P的切线斜率为k，试研究斜率OPkk是否为定值（O为原点）。性质五：在圆锥曲线焦点所在轴上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量数量积为定值，且该定值为42214eec,此时的定点坐标为0,232ec，抛物线时定点为原点。8.已知椭圆22143xy，直线过焦点(1,0)F交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使PAPB为定值.9.已知椭圆22141xy，直线过点(1,0)Q交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使QAQB为定值.5圆锥曲线中的重要性质经典精讲下性质一：以圆锥曲线上一定点为顶点作直角三角形，则斜边所在直线必过定点。1.抛物线2yx上一点(1,1)P，A,B是抛物线上两动点，且•0PAPB，问直线AB是否过定点？定点坐标是什么？性质二：直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在圆锥曲线上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆。2.若直角三角形ABO的直角顶点O在椭圆22221xyab的中心，OA，OB交椭圆于A,B两点，求证：点O在斜边上的射影H的轨迹是圆。3.椭圆1222yx，直线l交椭圆于P,Q两点，若0OQOP,试求直线l在y轴上截距的取值范围。4.(2009山东卷理)设椭圆E：22221xyab过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。5.（2009北京理）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆22:2Oxy上动点0000(,)(0)Pxyxy处的切线，l与双曲线C交于不同的两点,AB，证明AOB的大小为定值。6性质三：椭圆22221xyab中垂直于长轴的弦的端点对长轴顶点的连线的交点轨迹为与椭圆共顶点的双曲线22221xyab双曲线22221xyab中垂直于长轴的弦的端点对实轴顶点的连线的交点轨迹为与双曲线共顶点的椭圆22221xyab.6.已知椭圆22184xy的动弦MN垂直交x轴于点0(,0)Px，椭圆的长轴端点分别为12,BB，试探求直线1BNBM2与交点的轨迹.性质四：椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差数列。（推广：x轴上一定点Q(t，0)的直线交椭圆22221xyab于两点A，B，则在直线2axt上任一点对弦AB端点及定点的连线的斜率成等差数列。）7.过抛物线22(ypxp0)的对称轴上的定点(,0)(0)Mmm，作直线AB与抛物线相交于,AB两点.（Ⅰ）试证明,AB两点的纵坐标之积为定值；（Ⅱ）若点N是定直线:lxm上的任意一点，分别记直线,,ANMNBN的斜率为321kkk、、，试探求321kkk、、之间的关系，并给出证明.