高考卷 97届 普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（理）

更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher1997年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的奎屯王新敞新疆1．设集合M=｛x│0≤x2｝,集合N=｛x│x2-2x-30｝,集合M∩N=()(A)10xx(B)20xx(C)10xx(D)20xx2．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=()(A)－3(B)－6(C)23(D)323．函数y=tg(3121x)在一个周期内的图像是()4．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3,BC=2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是()(A)arccos33(B)arccos31(C)2(D)325．函数y=sin(x23)+cos2x的最小正周期是()更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher(A)2(B)(C)2(D)46．满足arccos(1－x)arccosx的x的取值范围是()(A)[－1,－21](B)[－21,0](C)[0,21](D)[21,1]7．将y=2x的图像()(A)先向左平行移动1个单位(B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位(D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数y=log2(x+1)的图像．8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是()(A)202(B)252(C)50(D)2009．曲线的参数方程是2111tytx(t是参数，t0),它的普通方程是()(A)(x－1)2(y－1)=1(B)y=212xxx(C)1112xy(D)112xxy10．函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为()(A)2(B)0(C)41(D)611．椭圆C与椭圆1429322yx关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是()(A)1934222yx(B)1439222yx(C)1439222yx(D)1934222yx12．圆台上、下底面积分别为、4,侧面积为6,这个圆台的体积是()更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher(A)332(B)32(C)637(D)33713．定义在区间,的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[,0）的图像与f(x)的图像重合，设ab0,给出下列不等式：①f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)；②f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)；③f(a)－f(－b)g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)g(b)－g(－a)，其中成立的是()(A)①与④(B)②与③(C)①与③(D)②与④14．不等式组xxxxx22330的解集是()(A)20xx(B)5.20xx(C)60xx(D)30xx15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有()(A)150种(B)147种(C)144种(D)141种第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．16．已知9)2(xxa的展开式中3x的系数为49,常数a的值为________奎屯王新敞新疆17．已知直线的极坐标方程为sin(4)=22,则极点到该直线的距离是_____奎屯王新敞新疆18．8sin15sin7cos8sin15cos7sin的值为_______奎屯王新敞新疆更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher19．已知m,l是直线，、是平面，给出下列命题：①若l垂直于内的两条相交直线，则l；②若l平行于,则l平行于内的所有直线；③若m,l,且ml,则；④若l,且l,则；⑤若m,l,且∥,则m∥l．其中正确的命题的序号是_______(注:把你认为正确的命题的序号都．填上)奎屯王新敞新疆三．解答题:本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．(本小题满分10分)已知复数iz2123,i2222．复数z,32z在复数平面上所对应的点分别为P,Q．证明OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．21．(本小题满分11分)已知数列na,nb都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中pq,且1p，1q．设nnnbac,Sn为数列nc的前n项和．求1limnnnSS．22．（本小题满分12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．I．把全程运输成本．．．．．．y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；II．为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？23．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacherI．证明ADD1F；II．求AE与D1F所成的角；III．证明面AED面A1FD1；IV．设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积11EDAFV24．(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)－x=0的两个根x1,x2满足0x1x2a1．I．当x(0,x1)时，证明xf(x)x1；II．设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x021x25．(25)（本小题满分12分）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准一．选择题:本题考查基本知识和基本运算．1．B2．B3．A4．C5．B6．D7．D8．C9．B10．B11．A12．D13．C14．C15．D二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．16．417．2218．3219．①，④注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分．三．解答题20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．解法一：更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher),6sin()6cos(2123iiz4sin4cos2222ii于是,12sin12cosiz),12sin()12cos(iz)43sin43(cos)]3sin()3[cos(32iiz125sin125cosi因为OP与OQ的夹角为2)12(125，所以OP⊥OQ．因为1.132zOQzOP，所以OQOP由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二:因为)6sin()6cos(2123iiz，所以iz3．因为4sin4cos2222ii，所以14于是izzzzzzzz22433232由此得OP⊥OQ，│OP│=│OQ│．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．解:更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher,1)1(1)1(11qqbppaSnnn)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111nnnnnnqpbpqaqpbpqaSS．分两种情况讨论．(Ⅰ)p1．∵,10,0pqqp1limnnnSS)]1)(1()11)(1([)]1)(1()11)(1([lim111111111nnnnnnnnnnnppqpbpqapppqpbpqap=]1))[(1()11)(1(]1))[(1()11)(1(lim1111111nnnnnnnppqpbpqappqpbpqap)1()1(11qaqap=p．(Ⅱ)p1．∵0qp1，1limnnnSS)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(lim111111nnnnnqpbpqaqpbpqa1)1()1()1()1(1111pbqapbqa(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为)(2bvvaSvSbvvSay故所求函数及其定义域为],0(),(cvbvvaSy(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有abSbvvaS2)(当且仅当,bvva．即bav时上式中等号成立若cba，则当bav时，全程运输成本y最小，若cba，则当],0(cv时，有)()(bccaSbvvaS)]()[(bcbvcavaS=))((bcvavcvcS因为c－v≥0，且abc2，故有a－bcv≥a－bc20，所以)()(bccaSbvvaS，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当cbab时行驶速度应为babv；当cbab时行驶速度应为v=c．(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．解:(Ⅰ)∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F面DC1，更多内容见微信公众号或小编微信空间微信公众号:数学第六感；微信号:AA-teacher∴AD⊥D1F．(Ⅱ)取AB中点G，连结A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．(Ⅳ)连结GE，GD1．∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，∴GEADEDAGEDAFVVV111111∵AA1=2，∴SSGEA1正方形ABB1A12321