高考数学(理)一轮讲义：第40讲-空间点、直线、平面之间的位置关系

第40讲空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求考情分析命题趋势理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.2017·全国卷Ⅱ，102017·全国卷Ⅲ，162016·浙江卷，2空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力.分值：5分1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的__两点__在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过__不在一条直线上__的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有__一个__公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条__相交__直线有且只有一个平面；推论3：经过两条__平行__直线有且只有一个平面．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系共面直线__平行__，__相交__，异面直线：不同在__任何__一个平面内.(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的__锐角(或直角)__叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：__0，π2__.(3)平行公理：平行于__同一条直线__的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__.3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)直线与平面的位置关系有__相交__、__平行__、__在平面内__三种情况．(2)平面与平面的位置关系有__平行__、__相交__两种情况．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A．(×)(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC．(×)(4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)解析(1)错误．当两个平面平行时，把空间分成三部分．(2)错误．由公理3知应交于过点A的一条直线．(3)错误．应相交于直线BC，而非线段．(4)正确．因为若c∥b，则由已知可得a∥b，这与已知矛盾．(5)错误．异面或平行．2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(D)A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析因为b∥c，a⊥b，所以a⊥c，即a与c垂直．3．下列命题正确的个数为(C)①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．A．0B．1C．2D．3解析①错误，②③正确．4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(D)A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为__60°__.解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.一平面的基本性质及应用用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【例1】以下四个命题中，正确命题的个数是(B)①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3解析①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确，故选B．【例2】已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC．求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)直线FH，EG，AC共点．解析(1)连接EF，GH，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD．又∵CG＝13BC，CH＝13DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC．又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG.∴FH，EG，AC共点．二空间两条直线的位置关系判断空间两条直线的位置关系的方法(1)异面直线，可采用直接法或反证法．(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理．(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．【例3】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析(1)不是异面直线．理由如下：连接MN，A1C1，AC．∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1AC1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B，C，C1∈α矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．三两条异面直线所成的角两异面直线所成角的作法及求解步骤(1)找异面直线所成的角的三种方法：①利用图中已有的平行线平移．②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．③补形平移．(2)求异面直线所成的角的三个步骤：①作：通过作平行线，得到相交直线．②证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角．③算：通过解三角形，求出该角．【例4】(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是__②③__(填写所有正确结论的编号)．解析由题意，AB是AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝2，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝2，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝2，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝2，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．∴正确的说法为②③.1．下列命题中正确的个数是(A)①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.A．0B．1C．2D．3解析对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图1所示的三棱锥P－ABC中，PB⊥面ABC，BA⊥BC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故②错误；对于③，在如图2所示的三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝AC＝PA＝2，PB＝PC＝3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥P－ABC不是正三棱锥，故③错误；对于④，直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α，β可以平行，故④错误．所以正确命题的个数为0，选A．2．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是(C)A．两条相交直线B．两条平行直线C．两个点D．一条直线和直线外一点解析如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C．3．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(C)A．32B．155C．105D．33解析如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝5，AD1＝2.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，所以cos∠B1AD1＝5＋2－32×5×2＝105，故选C．4．如图，在直二面角E－AB－C中，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝23，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.(1)证明：FB⊥平面PAC；(2)求异面直线PC与AB所成的角的余弦值．解析(1)证明：易得FB＝4，cos∠PFA＝cos∠BFA＝32，在△PAF中，由余弦定理得PA＝PF2＋FA2－2PF·FA·cos∠PFA＝9＋12－2×3×23×32＝3.∵PA2＋PF2＝3＋9＝12＝AF2，∴PA⊥BF.∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，AB⊥AC，∴AC⊥平面ABEF.∵BF⊂平面ABEF，∴AC⊥BF.∵PA∩AC＝A，∴BF⊥平面PAC．(2)过P作PM∥AB，PN∥AF，分别交BE，BA于M，N，∠MPC或其补角为PC与AB所成的角．连接MC，NC．易得PN＝MB＝32，AN＝32，NC＝AN2＋AC2＝52，BC＝22，PC＝PN2＋NC2＝7，MC＝MB2＋BC2＝352，cos∠MPC＝14＋7－3542×12×7＝－327＝－3714.∴异面直线PC与AB所成的角的余弦值为3714.易错点忽视位置关系错因分析：考虑问题不全面，忽略元素存在的多种可能性，导致丢解．【例1】设平面α，β满足α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若SA＝18，SB＝9，CD＝34，求SC的长度．解析设相交直线AB，CD确定的平面γ，则γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，由α∥β，得AC∥BD．①当S点在两平面的同侧时，如图1，因为AC∥BD，所以SBSA＝SDSC，即918＝SC－34SC，所以SC＝68.②当S点在两平面之间时，如图2，因为AC∥BD，所以SASB＝SCSD＝SCCD－SC，即