安徽省合肥市第一六八中学2018-2019学年高一上学期期中试题(数学-解析版)

一、选择题。1.已知全集，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出的定义域化简集合和求出的值域化简集合，由交集的定义可得结果．【详解】∵，，∴,故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意有，解得.3.下列四个图象中，是函数图象的是（）A.（1）B.（1）（3）（4）C.（1）（2）（3）D.（3）（4）【答案】B【解析】试题分析：根据函数的定义，对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对．考点：函数的概念．4.已知函数满足，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：根据题意得：①，令可得：②，联立可得，故选择D考点：求函数解析式以及求函数值5.已知函数是定义在上的奇函数．且当时，，则的值为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】化简，先求出的值，再根据函数奇偶性的性质，进行转化即可得到结论．【详解】∵，∴，是定义在上的奇函数，且当时，，∴，即，故选B．【点睛】本题主要考查函数值的计算，考查了对数的运算以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6.设a=log32，b=ln2，c=，则（）A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.c＜b＜a【答案】C【解析】试题分析根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C．考点：对数值大小的比较；换底公式的应用．7.函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】应用函数零点存在性定理判断.【详解】易知函数f（x）=在定义域上连续，且f()=0,f（1）=-10,f(2)=,,根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法.8.设函数，若对任意的都满足成立，则函数可以是（）A.B.C.D.不存在这样的函数【答案】B【解析】【分析】分情况讨论，得不等式，进而依次判断即可.【详解】当x为无理数时，f（x）=0，xf（x）≤g（x）⇔0≤g（x），当x为有理数时，f（x）=1，xf（x）≤g（x）⇔x≤g（x），若g（x）=x，当x=-，时g（x）0，即A不正确若g（x）=，已知对任意实数，x≤，且故当x为有理数或无理数时，不等式恒成立，即B正确；若g（x）=x2，当x=，则g（）=，，即C不正确；故选B【点睛】本题考查了分段函数、函数恒成立问题，考查了分析问题解决问题的能力．难度一般．9.若函数单调递增，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：因为函数单调递增，所以且由，所以，解得或，所以实数的取值范围是，故选D．考点：数列的单调性及分段函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、函数的单调性的应用，不等式的求解等知识点的应用，其中解答中根据哈数是定义域山过的单调递增函数，即可列出不等关系且是解答的关键，即可求求解实数的取值范围，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10.已知函数，若，，则（）A.B.C.D.与的大小不能确定【答案】A【解析】【分析】判断f（x1）-f（x2）的正负即可【详解】f（x1）-f（x2）=（ax12+2ax1+4）-（ax22+2ax2+4）=a（x1-x2）（x1+x2）+2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2+2）因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0所以x1-x2＜0，x1+x2+2＞0所以f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．故选A【点睛】本题考查了函数值作差法比较大小，作差，判断式子的正负，也是判断函数单调性的一种常用方法.11.已知函数，若互不相同，且满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题要先画出分段函数的图象，再根据根据分段函数第一个表达式可得出，根据分段函数第二个表达式可得出，这时可将用表示出来，通过求出关于的二次函数在相应区间上的值域即可得到的取值范围．【详解】由题意，可画出函数图象如下：由题意，互不相同，∴可不妨设．∵，由图象，可知．即：．∴，∴．又∵，∴依据图象，它们的函数值只能在0到2之间，∴．根据二次函数的对称性，可知：．∴则可以将看成一个关于的二次函数．由二次函数的知识，可知：在上的值域为．的取值范围即为，故选C．【点睛】本题主要考查分段函数的图象，相等函数值的自变量取值，意在考查数形结合思想的应用，本题是一道较难的中档题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．12.已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：本选择题宜采用特殊值法．取，则，．画出它们的图象，如图所示．从而得出的最小值为两图象右边交点的纵坐标，的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得或所以．故选D考点：函数最值的应用．二、填空题。13.若，则的值域是__________．（请用区间表示）【答案】【解析】，函数在上为增函数，而，，函数的值域为.14.已知,求的解析式为___________________.【答案】【解析】令，则，且，故所求的函数15.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且它们在上的图象如图所示，则不等式在上的解集是________.【答案】【解析】【分析】不等式的解集，与f（x）g(x)0且g（x）0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.【详解】将不等式转化为f（x）g(x)0且g（x）0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数∴f（x）g（x）是奇函数,故在y轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0)故不等式在上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.16.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________．【答案】【解析】试题分析：由当x≥0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．解：当x≥0时，f（x）=x2∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣x2∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，∴t+2≤（1+）t解得：t≥，故答案为：[，+∞）．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．三、解答题。17.计算：（1）（2）．【答案】（1）9.6（2）【解析】【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.【详解】（1）；（2）．【点睛】本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题.指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）18.已知全集，集合，，．（1）求；（2）若，求实数的值．【答案】（1）或或；（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合或，利用指数函数的性质化简，然后进行并集的运算即可；（2）利用补集的定义求出，再根据列方程求解即可．【详解】（1）或，；∴或或；（2）；∵；∴；∴．【点睛】本题主要考查了不等式，求集合的交集、并集与补集的混合运算，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.19.已知函数．（1）求，的值；（2）求证：是定值；（3）求的值．【答案】（1）2，2；（2）见证明；（3）.【解析】【分析】（1）利用函数的解析式，通过，分别求解，的值；（2）利用函数的解析式化简，即可证明是定值；（3）利用（2）的结论分组，即可求解的值．【详解】（1）函数．时，，．（2）因为，所以．（3）．【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将多项和问题转化为两项和问题是解题的关键.20.小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量（条）是售价（元）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润（元）关于售价（元）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？【答案】（1）；定价为22元或23元（2）25元【解析】【分析】（1）根据题意先求出销售量与售价之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润（元）关于售价（元）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．【详解】设，∴，解得，b=70，∴．（1），∵，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．（2）设售价x（元）时总利润为z（元），∴，元，当时，即时，取得等号，∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21.已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立．（1）判断在上的单调性，