热力学与统计物理答案(汪志诚)

第一章热力学的基本规律习题1.1试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数T。解：由得：nRTPVVnRTPPnRTV;所以,TPnRVTVVP11)(1TPVRnTPPV/1)(1PPnRTVPVVTT/111)(12习题1.2试证明任何一种具有两个独立参量的物质pT,,其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数T,根据下述积分求得:)(lndpdTVT如果1T1Tp,试求物态方程。解：因为0),,(pVTf,所以,我们可写成),(pTVV,由此,dppVdTTVdVTp)()(,因为TTppVVTVV)(1,)(1所以,dpdTVdVdpVdTVdVTT,所以,dpdTVTln,当pTT/1,/1.CTpVpdpTdTV:,ln得到习题1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4K和1710*8.7nTp，T,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C。问（1压强要增加多少np才能使铜块体积不变？（2若压强增加100np，铜块的体积改多少解：分别设为Vxpn;，由定义得：74410*8.7*10010*85.4;10*858.4VxT所以，410*07.4,622Vpxn习题1.4描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力，物态方程是0),,(TLf实验通常在np1下进行，其体积变化可忽略。线胀系数定义为)(1TLL等杨氏摸量定义为TLALY)(其中A是金属丝的截面积，一般说来，和Y是T的函数，对仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由1T降2T时，其张力的增加为)(12TTYA解：),(,0),,(TLLTLf所以，dTTLdLdLT)()(因AYLLLLTTT)(;)(1)(dTAYddTAYddL,,;0所以所以,)(12TTYA习题1.7在C25下，压强在0至1000np之间，测得水的体积13263)10046.010715.0066.18(molcmppV如果保持温度不变，将1mol的水从1np加压至1000np，求外界所做的功。解：外界对水做功:JdppPVdpWnnPPpp1.33)31106.410715.0066.18(38100030习题1.8解：外界所作的功：LLdLJW0dLLLLLbTLL02200dTLdAYLdLTLL;)(LLLLLbT0220202008LLbT8560TL习题1.10抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体充入。当压强达到外界压强p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来大气中的0U之差为000VpUU，其中0V是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解：假设先前的气体状态是（P0，dV0,T0）内能是u0，当把这些气体充入一个盒子时，状态为（P0,dV,T）这时的内能为u，压缩气体所做的功为：00dVp,依绝热过程的热力学第一定律，得000000dVPUUV积分得000VpUU对于理想气体，上式变为001vRTTTvcV故有01TRcTcVV所以001VTccTVP对于等压过程01001VTTVV习题1.15热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？解：A→B等温过程BAVVRTMQln11B→C绝热过程C→D等温吸热CDVVRTMQln22D→A绝热，2111QQQAQCDBABAVVRTMVVRTMVVRTMlnlnln211由绝热过程泊松方程：1211rCrBVTVT；1112rArDVTVT∴DACBVVVV；CDBAVVVV∴212212212111TTTTTTTTTTT将功A直接转化为热量1Q，令高温物体吸收。有A=Q1∴11AQ。习题1.16假设理想气体的Cp和CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系试中要用到一个函数F(T)，其表达式为：TdTTF1ln解：准静态绝热过程中：0dQ，∴pdVdU(1)对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为dTCdUv(2)物态方程VnRTPnRTpV(3)(2)，(3)代入(1)得：dVVnRTdTCV（其中1nRCV）dTTdTnRTnRdTnRTCVdVV111dTVdV11关系式dTV11ln1为T的函数∴V-1为T的函数。∴VTF1)(1)(VTF。第二章均匀物质的热力学性质习题2.1温度维持为25℃,压强在0至1000pn之间，测得水的实验数据如下：（TV）p=(4.5×10-3+1.4×10-6P)cm3·mol-1·K-1若在25℃的恒温下将水从1pn加压到1000pn,求水的熵增和从外界吸收的热量。解：利用麦氏关系：pTV)(=-TpS)(求熵增S;从而Q=TS,S=-0.572Jmol-1·K-1Q=-157J·mol-1习题2.2已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加。解：由题意得：)()(VfTVkp。因V不变,T、p升高,故k(V)0据麦氏关系(2.2.3)式得:TVS)(=VTp)(=k(V)(k(V)0));()(TgdVVkS由于k(V)0,当V升高时(或V0→V,VV0),于是0)(dVVkT不变时,S随V的升高而升高。2.3设一物质的物态方程具有以下形式TVfP)(，试证明其内能与体积无关。解：TVfP)(，(VTVU),()T=TVTP)(-p=)()(VTfVTf=0得证。习题2.4求证：(ⅰ)HPS)(0(ⅱ)UVS)(0证:由式(2.1.2)得：VdPTdSdH等H过程:HHVdPTdS)()(（PS）H=-TV0(V0;T0)由基本方程：PdVTdSdUdVTpdUTdS1;（VS）U=Tp0.习题2.5已知TVU)(=0,求证TpU)(=0。解：由式(2.2.7)得：TVU)(=TVTp)(-p;TVU)(=0;VTpTp)(TVU)(=),(),(TVTU=),(),(TpTU),(),(TVTp=0=TpU)(TVp)(∵TVp)(≠0;TpU)(=0。习题2.6试证明一个均匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。解：F=U-TS,将自由能F视为P,V的函数;F=F(p,V)SdTTdSdUdF),(VpSdTTdSpdVTdSpdVVpSdT),(pVSpVpS,,=pTpS,,pVpT,,pTpVpTpS,,,,=ppTVTS由关系TCppTS;pVSTCppVT。习题2.7试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。（提示:证明SpT-HpT0）证：dSSHdppHHTdppTdHHTdppTdTHpTTdSSTdppTdTSpTTpSpHpHpS),(1),(联立（1），（2）式得：SpT-HpT=pHTSpH=pSTHpH=pSCpH据：pdVTdSdU熵不变时，（dS=0）,pdVdUVdpTdSdHSpH=VSpT-HpT=0pCV；原题得证。习题2.8实验发现,一气体的压强p与比容v的乘积及内能U都只是温度的函数,即pv=f(T);U=U(T)，试据热力学理论,讨论该气体物态方程可能具有什么形式。解:pV=CT，其中C是一个常数。）（）；（TUUTfpV由式（2.2.7）及)(TUUTVU=0=TVTpp；TVTp=p）（2dSSTdppHHTpTpSpH即：VTfTfVT)()(1TfdTdf；TfTdTfdf习题2.9证明：TVVC)(=,)(22VTpTTppC)(=-,)(22pTVT并由此导出：)(2200dVTpTCCVVVVV；)(2200dpTVTCCppppp根据以上两式证明,理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度T的函数。证：据式（2.2.5）：VCVTU=TVTSTVVC=TVTS2=TVTp22类似可证：TppC=-T22TV习题2.10证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数,与比体积无关。证：范氏气体RTbvvap2由式(2.2.7)TvU=TVTp-p=T2vapbvRTvU=2va)(),(0TfvaUvTUVCVTU=)(Tf；与v无关。习题2.11证明理想气体的摩尔自由能可以表为：00lnTsvRdTTCTudTCfVV=vRTsudTcTdTTvln002解：Tsuf；sdTTdsdudf，对于理想气体dTCduV，)(TuuVⅡⅠT选上图示积分路径，过程Ⅰ：TdTCTdQsVLdTCuuV0；TdTCssV0001TsTdTCTudTCTsufVV过程Ⅱ：0uQTQTTsuf20u，根据热力学第一定律0ln0vvRTvdvRTpdVQVV00021lnvvRTTsdTTCTudTCffffVV习题2.14一弹簧在恒温下的恢复力X与其伸长x成正比,即.X=-Ax；今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能F、熵S和内能U的表达式分别为；221)0,().(AxTFxTFdTdAxTSxTS2)0,(),(22)(21)0.(),(xdTdATATUxTU解：),();(,xTUUTAAAxXdUdTTUx+dxxUT;)(xdxTASdTdFSTFx;xTA)(TxF)()(21),(2