高中数学抛物线经典考点及例题讲解

抛物线考纲解读1.利用抛物线的定义及简单性质求抛物线的标准方程；2.根据抛物线标准方程求其几何性质；3.利用抛物线几何性质研究与直线有关的综合问题．[基础梳理]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)与一个定点F和一条定直线l距离相等．(3)l不经过点F.2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0(x轴)x＝0(y轴)焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2[三基自测]1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716B.1516C.78D．0答案：B2．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是()A．y＝4x2B．y＝8x2C．y2＝4xD．y2＝8x答案：D3．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有()A．0个B．1个C．2个D．4个答案：C4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．答案：y2＝－8x或x2＝－y5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)过y2＝8x的焦点F垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点，求|MN|.答案：8考点一抛物线的定义及应用|方法突破[例1](1)(2018·河北三市联考)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且|PA|＝12|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A.53B.75C.97D．2(2)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．25－1B．25－2C.17－1D.17－2(3)与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也相切的圆的圆心的轨迹方程为________．[解析](1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D、E(图略)．∵|PA|＝12|AB|，∴3x1＋2＝x2＋23y1＝y2，又y21＝4x1y22＝4x2，得x1＝23，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53.(2)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝1＋16－1＝17－1.选C.(3)当动圆在y轴右侧时，如图，动圆圆心P到(3,0)的距离等于P到定直线x＝－3的距离(3＋r)，所以P点的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线．其方程为y2＝12x(x0)．当动圆在y轴左侧时，其圆心在x轴的负半轴上，其方程为y＝0(x0)．[答案](1)A(2)C(3)y2＝12x(x0)或y＝0(x0)[方法提升]应用解读求方程求轨迹问题应抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征，验证其是否满足抛物线的定义，若满足，直接利用定义便可确定抛物线的方程求距离涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离与点到准线的距离根据题设条件进行相互转化求最值(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”来解决问题[母题变式]1．将本例(1)改为过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于()A．1B．2C．3D．4解析：AB的中点到抛物线准线的距离为|AB|2＝5，所以AB的中点到y轴的距离为5－1＝4.答案：D2．将本例(2)改为已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，求|MA|＋|MF|的最小值．解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所以|MA|＋|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.考点二抛物线标准方程及性质|方法突破[例2](1)(2018·沈阳模拟)已知抛物线y2＝2px(p0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)(2)(2018·保定模拟)设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x(3)经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，如果A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1，那么∠A1FB1等于()A.π6B.π4C.π2D.2π3[解析](1)抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－p2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点Fp2，0，设点M(x0，y0)，则AF→＝p2，－2，AM→＝y202p，y0－2.由已知得，AF→·AM→＝0，即y20－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M8p，4.由|MF|＝5，得8p－p22＋16＝5.又p0，解得p＝2或p＝8.(3)由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝12×π＝π2，即∠A1FB1＝π2.[答案](1)B(2)C(3)C[方法提升]求抛物线方程的方法方法解读适合题型定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程题设条件动点满足几何特征待定系数法根据抛物线焦点在x轴上还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)已明确求解的是抛物线方程[跟踪训练]1．(2018·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.答案：D2．(2018·重庆渝中区模拟)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，双曲线C的渐近线与抛物线y2＝2px(p0)交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝43x解析：∵双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，∴双曲线C为等轴双曲线，即a＝b，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又∵双曲线C的渐近线与抛物线y2＝2px交于A，B两点，如图所示，设点A(x，y)，∴|OM|＝x，|AM|＝y.又∵△OAB的面积为xy＝4，∴x＝2，y＝2.又∵点A在抛物线上，∴22＝2p·2.解得p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.故选C.答案：C3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|＝()A.72B.52C．3D．2解析：∵FP→＝4FQ→，∴|FP→|＝4|FQ→|，∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34，∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.答案：C考点三直线与抛物线综合问题|方法突破[例3](2016·高考浙江卷)如图，设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值．(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．[解析](1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由y2＝4x，x＝sy＋1消去x得y2－4sy－4＝0，故y1y2＝－4，所以B1t2，－2t.又直线AB的斜率为2tt2－1，故直线FN的斜率为－t2－12t，从而得直线FN：y＝－t2－12t(x－1)，直线BN：y＝－2t，所以Nt2＋3t2－1，－2t.设M(m,0)，由A，M，N三点共线得2tt2－m＝2t＋2tt2－t2＋3t2－1，于是m＝2t2t2－1＝2＋2t2－1，所以m0或m2.经检验，m0或m2满足题意．综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．[方法提升]直线与抛物线相交问题处理规律对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．[跟踪训练]如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F，设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点为点C.(1)若点O到直线l的距离为32，求直线l的方程；(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．解析：(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x＝1，不符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以|－k|1＋k2＝32，解得k＝±3.即直线l的方程为y＝±3(x－1)．(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y20＝4x0.因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．所以直线AB的方程为：y＝y02x0(x＋x0)，整理得，x＝2x0yy0－x0，把上式代入y2＝4x得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，Δ＝64x20－16x0y20＝64x20－64x20＝0，所以直线AB与抛物线C相切．1.[考点一](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A(4p，22)，D(－p2，5)，设O为坐标