高中数学-柱体、锥体、台体的表面积与体积(练习)(解析版)

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()A．22B．20C．10D．11【答案】A[所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]2．已知高为3的直棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1­ABC的体积为()A.14B.12C.36D.34【答案】D[由题意，锥体的高为BB1，底面为S△ABC＝34，所以V＝13Sh＝13×34×3＝34.]3．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A．54B．54πC．58D．58π【答案】A[设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝13πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得r3r＝h－h1h，∴h＝32h1，∴V原圆锥＝13π(3r)2×h＝3πr2×32h1＝92×12＝54.]4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是()A．3πB．33πC．6πD．9π【答案】A[根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是()A．1∶2∶3B．6∶23∶3C．6∶23∶3D．3∶23∶6【答案】C[设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝3，求得斜边上的高CD＝32，基础篇旋转所得几何体的体积分别为V1＝13π(3)2×1＝π，V2＝13π×12×3＝33π，V3＝13π322×2＝12π.V1∶V2∶V3＝1∶33∶12＝6∶23∶3.]二、填空题6．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积为__________．【答案】3＋34a2[∵底面边长为a，则斜高为a2，故S侧＝3×12a×a2＝34a2，而S底＝34a2，故S表＝3＋34a2.]7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小的底面半径为________．【答案】7[设圆台较小的底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l＝3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积＝π(r＋3r)l＝84π，解得r＝7.]8．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为________．【答案】1∶3∶5[如图，由题意知O1A1∶O2A2∶OA＝1∶2∶3，以O1A1，O2A2，OA为底面半径的圆锥的侧面积之比为1∶4∶9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5.]三、解答题9．将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比．【答案】设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r.由已知可得两个圆锥的底面半径分别为2πr×372π＝37r，2πr×472π＝47r，所以两圆锥的体积之比为13π×37r2×r2－37r213π×47r2×r2－47r2＝333088.10．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积.【答案】如图所示，连接AB1，AC1.因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，所以VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝12VA­BB1C1C.又VA­A1B1C1＝13S△A1B1C1·h，VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，所以VA­A1B1C1＝m3，所以VA­BB1C1C＝VABC­A1B1C1－VA­A1B1C1＝23m，所以VA­BEFC＝12×23m＝m3，即四棱锥A­BEFC的体积是m3.1．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A．4πSB．2πSC．πSD.233πS【答案】A[底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ＝2πS，故圆柱的侧面积是(2πS)2＝4πS.]2．如图1­3­5，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为()图1­3­5提升篇A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶4【答案】C[设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S，∴VA1­ABC＝13S△ABC·h＝13Sh，VC­A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝43Sh.又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1＝73Sh－Sh3－4Sh3＝23Sh，∴体积比为1∶2∶4.]3．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图1­3­6所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________.图1­3­6【答案】32a[设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为13πR2h，圆柱形容器内的液体体积为πa22h.根据题意，有13πR2h＝πa22h，解得R＝32a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32aa＝ha，所以h＝32a.]4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.【答案】8[如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.]5．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．【答案】如图所示，在三棱台ABC­A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，记为h0，所以S侧＝3×12×(20＋30)h0＝75h0.上、下底面面积之和为S上＋S下＝34×(202＋302)＝3253(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75h0＝3253，所以h0＝1333(cm)．又O′D′＝13×32×20＝1033(cm)，OD＝13×32×30＝53(cm)，记棱台的高为h，则h＝O′O＝h20－OD－O′D′2＝13332－53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积V＝h3(S上＋S下＋S上S下)＝433×(3253＋34×20×30)＝1900(cm3)．