第六章-排队论模型

12排队论简介：排队论(QueuingTheory)，又称随机服务系统理论(RandomServiceSystemTheory),是运筹学的一个主要分支，是一门研究拥挤现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。主要包含以下三个方面的研究内容：(1)性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，如队长、等待时间、忙期等要素满足的分布。有瞬态和稳态两种情况。(2)最优化问题，包括最优设计下的静态最优和现有排队系统的最优运营下的动态最优。(3)排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合何种模型，以便进一步根据排队理论进行分析研究。前言3起源于1909年在丹麦哥本哈根电子公司工作的电话工程师A.K.Erlang(A.K.爱尔朗)对电话通话拥挤问题的研究工作，其开创性论文---概率论和电话通讯理论则标志此理论的诞生。表明了排队论的发展最早是与电话，通信中的问题相联系的，并到现在也还是排队论的传统的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通运输、医疗卫生系统、各类生产服务、库存管理等等各领域中均得到广泛的应用。排队论历史：排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如：搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常常出现排队和等待现象。除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。排队的不一定是人，也可以是物：例如：通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等。排队论具体事例：4上述事例中的各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”,而把提供服务的人或机构称为“服务台”或“服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统。5模型1单服务台排队模型排队模型及类型根据顾客到达和服务台数，排队过程可用下列模型表示：模型2单队列多服务台并联的排队模型6模型3多队列多服务台的并联排队模型模型4单队多个服务台的串联排队模型7模型5多队列多服务台混联网络模型纵观上述排队模型，实际上都可由下面模型加以统一描述：称该统一模型为随机聚散服务系统。由于顾客到来的时刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此任一排队系统都是一个随机聚散服务系统。“聚”表示顾客的到达,“散”表示顾客的离去。8面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队，通常的做法是增加服务设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。这就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决的问题。9一、排队系统的组成与特征排队系统一般有三个基本组成部分：1.输入过程；2.排队规则；3.服务机构。如下图所示：排队系统的基本概念101、输入过程输入即为顾客的到达，可有下列情况：1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。2）顾客是成批到达或是单个到达。3）顾客到达间隔时间可能是随机的或确定的。4）顾客到达可能是相互独立或关联的。所谓独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。5）输入过程可以是平稳的，也可以是非平稳的。输入过程平稳的是指顾客相继到达的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。11这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。可以分为损失制、等待制、混合制3大类。(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。2、排队规则12(2)等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则：①先到先服务（FCFS）。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。②后到先服务（LCFS）。仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。13③随机服务(RAND)。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。④优先权服务(PR)。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等，均属于此种服务规则。14(3)混合制．这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种：①队长有限。当排队等待服务顾客人数超过规定数量时，后来顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是有限的。例如最多只能容纳N个顾客在系统中，当新顾客到达时，若系统中的顾客数(又称为队长)小于N，则可进入系统排队或接受服务；否则，便离开系统，并不再回来。再如水库的库容是有限的，旅馆的床位是有限的。15②等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客自动离去，不再回来。如易损坏的电子元器件的库存问题，超过一定存储时间被自动认为失效。又如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店用餐。16③逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区域的时间为t时，若在这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如记c为系统中服务台的个数，则当K=c时，混合制即成为损失制；当K=∞时，混合制即成为等待制。173、服务台服务台可以从以下3方面来描述：(1)服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台有：①单队——单服务台式；②单队——多服务台并联式；③多队——多服务台并联式；④单队——多服务台串联式；⑤单队——多服务台并串联混合式,以及多队列多服务台并串联混合式等等。如之前的分类模型图所示。18(2)服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成批服务。(3)服务时间的分布。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K阶爱尔朗分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。19排队系统的描述符号与模型分类为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描述或分类，可给出很多排队模型(见前面分析与图示)。为了方便对众多模型的描述,D．G．肯道尔（D．G．Kendall）提出了一种目前在排队论中被广泛采用的“Kendall记号”，完整的表达方式通常用到6个符号并取如下固定格式：X/Y/Z/A/B/C各符号的意义如下：X---表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号：M——表示到达过程为泊松过程或(负指数分布Markov)；D——表示定长输入(确定型分布Deterministic)；EK——表示k阶爱尔朗分布；GI——一般相互独立的随机分布(GeneralIndependent)G——表示一般的随机分布。20Y---表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。Z---表示服务台(员)个数：“1”则表示单个服务台，“s”。(s＞1)表示多个服务台。A---表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量；如系统有K个等待位子，则0K∞，当K=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。K=∞时为等待制系统，此时∞般省略不写。K为有限整数时，表示为混合制系统。B---表示顾客源限额。分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。C---表示服务规则，常用下列符号：FCFS：表示先到先服务的排队规则；LCFS：表示后到先服务的排队规则；PR：表示优先权服务的排队规则。21例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／FCFS，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的前3个、4个、5个符号。如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等待制系统。22排队问题求解(主要指性态问题)求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合理改进和对新建系统的最优设计等。排队问题的一般步骤：1、确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和服务时间分布(可实测)。2、研究分析排队系统理论分布的概率特征。3、研究系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客数,用n表示。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。23求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此常常使用它的极限(如果存在的话)：nttnp)(plim稳态的物理意义图，系统的稳态一般很快都能达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。要注意的是求稳态概率Pn并不一定求t→∞的极限,只需求Pn’(t)=0。过渡状态稳定状态pnt排队系统状态变化示意图称为稳态解，或称统计平衡状态解。244、根据排队系统对应的理论模型求用以判断系统运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。数量指标主要包括:(1)平均队长(Ls):系统中的顾客数(包括被服务和正在排队的顾客)。平均队列长(Lq):系统中排队等待服务的顾客数。系统中顾客数Ls=系统中排队等待服务的顾客数Lg+正被服务的顾客数c(2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间(含等待时间和被服务时间)。平均等待时间(Wq):一个顾客在系统中排队等待的时间。(3)平均忙期(Tb)：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间平均长度。(忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度)255、排队系统指标优化含优化设计与优化运营。与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。除了上述几个基本数量指标外，还会用到其他一些重要的指标，如在损失制或系统容量有限的情况下，由于顾客被拒绝，而使服务系统受到损失的顾客损失率及服务强度等，也都是十分重要的数量指标。计算上述指标的基础是表达系统状态(系统中的顾客数n)的概率[与顾客到达(输入过程)间隔时间分布与服务时间分布有关]。顾客数n的可能取值是：(1)队长没有限制时，n=0，1，2，…(2)队长有限制、最大数为N时，n=0，1，2，…，N(3)损失制且服务台个数为c时，n=0，1，2，…，c系统处于这些状态的概率一般是随时间t变化的，所以在时刻t、系统状态为n的瞬态概率可用Pn(t)表示，稳态概率用Pn表示。26输入过程与服务时间的分布排队系统的主要数据是顾客到达流和服务时间流，而这都与时间有关且是不确定的。根据有关概率知识，与时间有关的随机变量的概率分布是一类非负的随机变量分布，是一个随机过程，即泊松过程。常用的非负随机变量分布有泊松分布、指数分布、爱尔朗分布、确