应用多元统计分析答案详解汇总-高惠璇[1]

应用多元统计分析第二章部分习题解答2第二章多元正态分布及参数的估计2-1设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知.21,5.005.05.015.0,002dA试求Y=AX+d的分布.解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),其中：3第二章多元正态分布及参数的估计2-2设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中.11,221（1）试证明X1+X2和X1-X2相互独立.（2）试求X1+X2和X1-X2的分布.解:(1)记Y1＝X1+X2＝(1,1)X,Y2＝X1-X2＝(1,-1)X，利用性质2可知Y1,Y2为正态随机变量。又011111111),Cov(221YY故X1+X2和X1-X2相互独立.4第二章多元正态分布及参数的估计或者记CXXXXXXXYYY212121211111),(~则2CCCNY)1(200)1(2111111111111111111因222CCΣY由定理2.3.1可知X1+X2和X1-X2相互独立.5第二章多元正态分布及参数的估计(2)因)1(200)1(2,~2212122121NXXXXY)).1(2,(~));1(2,(~2212122121NXXNXX6第二章多元正态分布及参数的估计2-3设X(1)和X(2)均为p维随机向量,已知,,~1221)2()1(2)2()1(pNXXX其中μ(i)(i＝1，2)为p维向量,Σi(i＝1，2)为p阶矩阵，(1)试证明X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.(2)试求X(1)+X(2)和X(1)-X(2)的分布.解:(1)令CXXXIIIIXXXXYpppp)2()1()2()1()2()1(7第二章多元正态分布及参数的估计),(~则2CCCNYp)(2)(2)(D)因D(2121122121211221OOIIIIIIIIIIIICXCYpppppppppppp由定理2.3.1可知X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.8第二章多元正态分布及参数的估计(2)因)(2)(2,~2121)2()1()2()1(2)2()1()2()1(OONXXXXYp)).(2,(~));(2,(~21)2()1()2()1(21)2()1()2()1(ppNXXNXX所以注意:由D(X)≥0,可知(Σ1-Σ2)≥0.9第二章多元正态分布及参数的估计2-11已知X=(X1,X2)′的密度函数为)65142222(21exp21),(2121222121xxxxxxxxf试求X的均值和协方差阵.解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ122)142(21)65222(21221112212212121),()(dxeedxxxfxfxxxxxx21211222121)7(212))7()7(2(21)65222(2121xxxxxxxedxee10第二章多元正态分布及参数的估计2)7(21)168(212121212121dxeexxxx2)7(21)491465222(2121212112121dxeexxxxxx21)4(2121xe).1,4(~1NX22)3(4112122221),()(xedxxxfxf).2,3(~2NX类似地有11第二章多元正态分布及参数的估计2121212122112112),()3()4()]3)(4[(E)](E))((E[(E),(CovdxdxxxfxxXXXXXXXX34令2211xuxu2121222121)]22(21exp[21duduuuuuuu12)(21221212212121dudueueuuuu12)(2112)(21122121221221)(2121dudueudueuueuuuuuu121122121dueuu0212第二章多元正态分布及参数的估计所以2111)(D,34)(EXX)]()(21exp[21),(且121xxxxf故X=(X1,X2)′为二元正态分布.13第二章多元正态分布及参数的估计解二:比较系数法设])())((2)([)1(21exp121)65142222(21exp21),(2222122112121122222212212121222121xxxxxxxxxxxxf6521422222211211212121222221121212221221212122221比较上下式相应的系数,可得:2/11212142222242121342114第二章多元正态分布及参数的估计2111)(D,34)(EXX故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且解三:两次配方法2221222121121212121212221212122122212122则,0111令,011101111112而,1112),(22因)(22:第一次配方)1(yyxxxxxxxxxyyyBBxxxxxxxxxxxxxxx21221第二次配方.由于)2(yyxyx15第二章多元正态分布及参数的估计2221222121212222121212221)4()7(168491465)(142265142222yyyyyyyyyyyxxxxxx])4()7[(21)65142222(21222121221212122212121yyyyxyxxxxxxxee即),(21yyg),(21yyg设函数是随机向量Y的密度函数.16第二章多元正态分布及参数的估计(4)由于CYYYXXX21211110故211111101110,344711102I2111,34~2NCYX2111)(D,34)(EXX2221,47~INYYY(3)随机向量17第二章多元正态分布及参数的估计2-12设X1~N(0,1),令,其它.,11-当,1112XXXX(1)证明X2~N(0,1);(2)证明(X1,X2)不是二元正态分布.证明(1):任给x,当x≤-1时)(}{}{12xxXPxXP当x≥1时,)(}{}1{}11{}1{}1{}11{}1{}{11112222xxXPxXPXPXPxXPXPXPxXP18第二章多元正态分布及参数的估计)(}{}1{}1{}1{}1{}1{}1{}{11111222xxXPxXPXPXxPXPxXPXPxXP当-1≤x≤1时,).1,0(~2NX(2)考虑随机变量Y=X1-X2,显然有其它011-当,11121XXXXXY19第二章多元正态分布及参数的估计03174.0)1(2))1,0(~(}1{}1{}1或1{}0{11111NXXPXPXXPYP若(X1,X2)是二元正态分布,则由性质4可知,它的任意线性组合必为一元正态.但Y=X1-X2不是正态分布,故(X1,X2)不是二元正态分布.20第二章多元正态分布及参数的估计2-17设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面f(x;μ,Σ)=a是一个椭球面.(2)当p=2且(ρ0)时，112概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴.证明(1):任给a＞0,记时,1当0,||)2(02/12/0aaap21)()(),;(bxxaxf,0]ln[2]||)2(ln[2其中02/12/2aaabp21第二章多元正态分布及参数的估计的谱谱分解则有),,,2,1(的特征向量记特对对,0的特征值0,因1-21piliip记为iipiill111),,2,1()(pilxyii令,则概率密度等高面为211)(1)()()(bxllxxxiipii2211byipii(见附录§5P390)22第二章多元正态分布及参数的估计12222222121bybybypp故概率密度等高面f(x;μ,Σ)=a是一个椭球面.(2)当p=2且(ρ0)时,112).1(||240))(()(||222224222222pI由可得Σ的特征值).1(),1(222123第二章多元正态分布及参数的估计λi(i=1,2)对应的特征向量为2121212111ll由(1)可得椭圆方程为1)1()1(22222221byby],12ln[2]||)2(ln[2其中222/12aab长轴半径为方向沿着l1方向(b0);短轴半径为方向沿着l2方向.,11bd,12bd24第二章多元正态分布及参数的估计2-19为了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样品，每个测量了三项指标：硬度、变形和弹性，其数据见表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样本相关阵.解：25第二章多元正态分布及参数的估计应用多元统计分析第三章习题解答2第三章多元正态总体参数的假设检验3-1设X～Nn(μ,σ2In),A为对称幂等阵,且rk(A)=r(r≤n),证明证明因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量)，使3第三章多元正态总体参数