江苏省南通中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷-(有解析)

江苏省南通中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“log2(2𝑥−3)1”是“𝑥32”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=4，𝑎4+𝑎6=26，则𝑎8的值是()A.9B.13C.18D.223.若𝑥∈𝑅，对任意x，不等式|𝑥|≥𝑎𝑥恒成立，则实数a的取值范围是()A.𝑎−1B.|𝑎|≤1C.|𝑎|1D.𝑎≥14.椭圆𝑥24+𝑦2𝑘=1的离心率为√32，则k的值为()A.1B.16C.1或16D.2或85.已知曲线C：𝑎𝑥2+𝑏𝑦2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则()A.a，𝑏0B.𝑎0，𝑏0C.𝑎0，𝑏0D.𝑎0，𝑏06.已知关于x的不等式𝑎𝑥2−𝑥+𝑏0的解集是(−1,−12)，则𝑎𝑏的值是()A.2B.12C.−1D.17.已知{𝑎𝑛}为等比数列，𝑎4+𝑎7=2，𝑎5𝑎6=−8，则𝑎1+𝑎10=()A.7B.5C.−5D.−78.已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑎1=13，当𝑛≥2时，𝑎𝑛，𝑆𝑛−1，𝑆𝑛成等比数列，若𝑆𝑚1921，则m的最大值为()A.9B.11C.19D.219.已知正项等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎9=𝑎8+2𝑎7，若存在两项𝑎𝑚，𝑎𝑛，使得𝑎𝑚𝑎𝑛=2𝑎12，则1𝑚+4𝑛的最小值为()A.2√2B.83C.3D.3√210.求和𝑆𝑛=11×3+13×5+15×7+⋯+1(2𝑛−1)×(2𝑛+1)结果为()A.𝑛2𝑛+1B.2𝑛2𝑛+1C.2𝑛−34𝑛−2D.2𝑛−32𝑛−111.已知𝐹1，𝐹2为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△𝐴𝐵𝐹1为等边三角形，则椭圆的离心率为()A.√2−1B.√3−1C.√2−12D.√3−1312.已知𝐹1，𝐹2是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦29=1(𝑎3)的左、右焦点，P为椭圆上一点且，则|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|的值为()A.18B.36C.36√3D.与a的取值有关二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等比数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且𝑎5=𝑆5，则𝑆2014=______．14.已知命题p：∃𝑎∈(−∞,0)，𝑎2−2𝑎−30，那么命题p的否定是_________________．15.在实数范围内，不等式||𝑥−2|−1|≤1的解集为________．16.已知椭圆𝑥225+𝑦29=1的右焦点为F，点𝐴(1,1)，M是椭圆上一点，则𝑀𝐴+𝑀𝐹的最大值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且经过点𝐴(√3,−2)，𝐵(−2√3,1)；(2)与椭圆𝑥23+𝑦2=1有相同焦点且经过点𝑀(√2,1)．18.已知𝑘∈𝑅，函数𝑓(𝑥)=𝑥−𝑘(1)若𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥−4，求实数k的值；(2)设函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−√𝑥+1，若𝑔(𝑥)≥0在区间[0,3]上恒成立，求实数k的取值范围．19.已知等差数列{𝑎𝑛}的公差𝑑=2，且𝑎2+𝑎5=2，{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛．(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑆𝑚,𝑎9,𝑎15成等比数列，求m的值．20.某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元，根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10(𝑎−3𝑥500)万元(𝑎0)，A项目余下的工人每人每年创造利润需要提高0.2𝑥%．(1)若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？(2)在(1)的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．21.已知F为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的右焦点，A、B分别是椭圆的左顶点和上顶点，斜率为−1的直线PQ过F与椭圆交于点P、𝑄(点P在x轴上方)．(1)若点P与点B重合，求直线AQ的斜率；(2)当𝑃𝐹=3𝑄𝐹=2√2时，求椭圆的标准方程．22.已知数列{𝑎𝑛}的各项均为正数，前n项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛=𝑎𝑛(𝑎𝑛+1)2,𝑛∈𝑁∗．(1)求证：数列{𝑎𝑛}是等差数列；(2)设𝑏𝑛=12𝑆𝑛,𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛，求𝑇𝑛．--------答案与解析--------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．首先根据题意求解对数不等式，然后根据x的范围即可得解．【解答】解：由log2(2𝑥−3)1可得02𝑥−32，解得：{𝑥|32𝑥52}，故“log2(2𝑥−3)1”是“𝑥32”的充分不必要条件，故选A．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．【解答】解：因为𝑎2+𝑎8=𝑎4+𝑎6，所以𝑎8=(𝑎4+𝑎6)−𝑎2=26−4=22．故选D．3.答案：B解析：当𝑥0时，𝑥≥𝑎𝑥恒成立，即𝑎≤1；当𝑥=0时，0≥0恒成立，即𝑎∈𝑅；当𝑥0时，−𝑥≥𝑎𝑥恒成立，即𝑎≥−1，综上−1≤𝑎≤1，故选B．4.答案：C解析：解：当椭圆的焦点在x轴上时，𝑎2=4，𝑏2=𝑘，∵√32=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2=√1−𝑘4，解得𝑘=1；当椭圆的焦点在y轴上时，𝑎2=𝑘，𝑏2=4，∵√32=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2=√1−4𝑘，解得𝑘=16．综上可知：𝑘=1或16．故选：C．分类讨论：当椭圆的焦点在x轴上时和当椭圆的焦点在y轴上时，利用离心率计算公式√32=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其离心率计算公式𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2、分类讨论方法，属于基础题．5.答案：D解析：解：根据题意，曲线C：𝑎𝑥2+𝑏𝑦2=1，变形可得𝑥21𝑎+𝑦21𝑏=1，若其表示焦点在y轴上的双曲线，则有1𝑎0，1𝑏0，则有𝑎0，𝑏0，故选：D．根据题意，将曲线方程变形为𝑥21𝑎+𝑦21𝑏=1，由双曲线的标准方程分析可得1𝑎0，1𝑏0，变形即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，关键是掌握双曲线标准方程的形式．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a，b即可．【解答】解：因为关于x的不等式𝑎𝑥2−𝑥+𝑏0的解集是(−1,−12)，所以−1,−12是方程𝑎𝑥2−𝑥+𝑏0的两个根，所以−1+(−12)=1𝑎，(−1)×(−12)=𝑏𝑎，解得𝑎𝑏=2，即𝑎𝑏的值为2，故选A．7.答案：D解析：【分析】由𝑎4+𝑎7=2，及𝑎5𝑎6=𝑎4𝑎7=−8可求𝑎4，𝑎7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求𝑎1，𝑎10，即可本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．【解答】解：∵𝑎4+𝑎7=2，由等比数列的性质可得，𝑎5𝑎6=𝑎4𝑎7=−8∴𝑎4=4，𝑎7=−2或𝑎4=−2，𝑎7=4当𝑎4=4，𝑎7=−2时，𝑞3=−12，∴𝑎1=−8，𝑎10=1，∴𝑎1+𝑎10=−7当𝑎4=−2，𝑎7=4时，𝑞3=−2，则𝑎10=−8，𝑎1=1∴𝑎1+𝑎10=−7综上可得，𝑎1+𝑎10=−7故选：D．8.答案：A解析：【分析】本题考查等比数列、等差数列的性质，推导出{1𝑆𝑛−1}为等差数列，求出通项公式，进而反推出𝑆𝑛进行求解【解答】∵当𝑛≥2时，𝑎𝑛，𝑆𝑛−1，𝑆𝑛成等比数列∴(𝑆𝑛−1)2=𝑎𝑛𝑆𝑛，即(𝑆𝑛−1)2=(𝑆𝑛−𝑆𝑛−1)𝑆𝑛，即𝑆𝑛=12−𝑆𝑛−1，∴1𝑆𝑛−1−1𝑆𝑛−1−1=−1.所以{1𝑆𝑛−1}为等差数列，即1𝑆𝑛−1=−𝑛−12．∴𝑆𝑛=2𝑛−12𝑛+1，所以2𝑚−12𝑚+11921，解得𝑚10，所以m的最大值为9，答案选A．9.答案：C解析：【分析】正项等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎9=𝑎8+2𝑎7，可得𝑎7𝑞2=𝑎7(𝑞+2)，化为：𝑞2−𝑞−2=0，𝑞0，解得𝑞=2.若存在两项𝑎𝑚，𝑎𝑛，使得𝑎𝑚𝑎𝑛=2𝑎12，利用通项公式，化为：𝑚+𝑛=3.可得𝑚=1，𝑛=2；或𝑚=2，𝑛=1.即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：正项等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎9=𝑎8+2𝑎7，∴𝑎7𝑞2=𝑎7(𝑞+2)，化为：𝑞2−𝑞−2=0，，解得𝑞=2．若存在两项𝑎𝑚，𝑎𝑛，使得𝑎𝑚𝑎𝑛=2𝑎12，则𝑎12⋅2𝑚−1⋅2𝑛−1=2𝑎12，化为：𝑚+𝑛=3．∴𝑚=1，𝑛=2；或𝑚=2，𝑛=1．则1𝑚+4𝑛=3或92．其最小值为3．故选：C．10.答案：A解析：【分析】本题考查数列的求和，涉及裂项相消法求和的应用，属中档题．利用1(2𝑛−1)(2𝑛+1)=12(12𝑛−1−12𝑛+1)，裂项相消可得．【解答】解：由题意可得𝑆𝑛=11×3+13×5+15×7+⋯+1(2𝑛−1)(2𝑛+1)=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12𝑛−1−12𝑛+1)]=12(1−12𝑛+1)=𝑛2𝑛+1故选A．11.答案：B解析：【分析】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由△𝐴𝐵𝐹1为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠𝐴𝐹1𝐹2=30°，又∠𝐹1𝐴𝐹2=90°，可得𝐴𝐹2，𝐴𝐹1，利用椭圆的定义可得：𝑐+√3𝑐=2𝑎，即可得出．【解答】解：由△𝐴𝐵𝐹1为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠𝐴𝐹1𝐹2=30°，又∠𝐹1𝐴𝐹2=90°，∴𝐴𝐹2=𝑐，𝐴𝐹1=√3𝑐，∴𝑐+√3𝑐=2𝑎，可得𝑐𝑎=2√3+1=√3−1．故选：B．12.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的定义及余弦定理，属于基础题．设|𝑃𝐹1|=𝑚,|𝑃𝐹2|=𝑛,由题意得cos120°=−12=𝑚2+𝑛2−4𝑐22𝑚𝑛,𝑚+𝑛=2𝑎,𝑎2−𝑐2=9，解方程组即可．【解答】解：设|𝑃𝐹1|=𝑚,|𝑃𝐹2|=𝑛,由题意得cos120°=−12=𝑚2+𝑛2−4𝑐22𝑚𝑛,𝑚+𝑛=2𝑎,𝑎2−𝑐2=9，解得：𝑚𝑛=36，故选B．13.答案：0解析：解：∵等比数列{𝑎𝑛}，𝑎5=𝑆5，∴公比𝑞≠1，且𝑎1𝑞4=𝑎1(1−𝑞5)1−𝑞，∴𝑞4−𝑞5=1−𝑞5，∴𝑞4=1，∴𝑞=−1∴𝑆2014=𝑎1(1−𝑞2014)1−𝑞=0．故答案为：0．先根据𝑎5=𝑆5求出公比q的值，再利用等比数列的求和公式可得结论．本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题．14.答案：∀𝑎∈(−∞,0)，𝑎2−2𝑎−3≤0解析：【分析】本题考查特称